Ця симуляція візуалізує квантовий гармонічний осцилятор — частинку з масою m, утримувану параболічним потенціалом V(x) = ½mω²x². Розв'язання стаціонарного рівняння Шрьодінґера дає квантовані рівні енергії Eₙ = ℏω(n + ½) та стаціонарні хвильові функції ψₙ(x). Кожна ψₙ побудована з поліному Ерміта Hₙ, помноженого на гаусів множник, і обчислюється стійким рекурентним методом у природних одиницях (ℏ = m = 1).
Сторінка відображає параболічний потенціал, рівномірно розташовані рівні енергії та хвильову функцію кожного стану вздовж відповідного рівня. Повзунок n вибирає квантове число (від 0 до 10), а повзунок ω налаштовує кутову частоту (від 0,5 до 3), що змінює відстань між рівнями і ширину ями. Кнопки вмикають відображення всіх станів до n ≤ 5, перемикають ψ(x) на густину ймовірності |ψ|² та автоматично перебирають значення n. Осцилятор лежить в основі коливальних спектрів молекул, фононів у твердих тілах і квантової теорії поля.
Що таке квантовий гармонічний осцилятор?
Це частинка, утримувана силою, пропорційною до її відхилення від рівноваги, що дає параболічний потенціал V(x) = ½mω²x². Квантова механіка обмежує її енергію дискретними рівнями, а не неперервним діапазоном, що робить цю модель основоположною для опису коливань на атомному рівні.
Що означає формула енергії Eₙ = ℏω(n + ½)?
Вона задає допустимі значення енергії, пронумеровані квантовим числом n = 0, 1, 2 і так далі. Рівні рівномірно розподілені з кроком ℏω — це унікальна властивість гармонічного потенціалу. Додатковий доданок ½ означає, що найнижча енергія не дорівнює нулю — явище без класичного аналогу.
Що таке енергія нульових коливань?
Навіть у основному стані (n = 0) осцилятор зберігає мінімальну енергію E₀ = ½ℏω, показану внизу симуляції. Частинка ніколи не може бути цілком нерухомою, адже це порушило б принцип невизначеності Гайзенберґа, одночасно фіксуючи положення та імпульс.
Кожна ψₙ(x) — це поліном Ерміта Hₙ(ξ), помножений на гаусів множник exp(-ξ²/2) і нормувальну константу Nₙ = (2ⁿ n! √π)^(-½), де ξ — безрозмірна координата √(mω/ℏ)·x. Симуляція обчислює Hₙ за чисельно стійким рекурентним співвідношенням, а не через явну формулу полінома.
Повзунок n вибирає квантове число від 0 до 10, виділяючи відповідний стан. Повзунок ω встановлює кутову частоту від 0,5 до 3, змінюючи ширину ями та крок між рівнями. Кнопки дозволяють показати всі стани до n ≤ 5, перемкнутися між ψ(x) і густиною ймовірності |ψ|², а також автоматично перебирати зростаючі значення n.
Рівний крок ℏω — особлива властивість параболічного потенціалу. В інших ямах, наприклад у потенціальній ямі з нескінченно твердими стінками або в атомі водню, інтервали між рівнями зменшуються або збільшуються з ростом n. Рівномірне розташування для осцилятора виникає завдяки простій структурі операторів підвищення і зниження, що крокують по квантових числах.
Увімкнувши |ψ|², ви побачите ймовірність виявити частинку в кожній точці. При великих n густина накопичується поблизу класичних точок повороту, де класичний осцилятор рухається найповільніше і проводить найбільше часу. Це зближення з класичною поведінкою при великих n ілюструє принцип відповідності.
Так, у межах своїх припущень. Вона відображає точні аналітичні розв'язки одновимірного стаціонарного рівняння Шрьодінґера для гармонічного потенціалу в природних одиницях. Показані стаціонарні стани, а не часова еволюція; криві масштабовані для наочності, але енергії, вузли і форми точно відповідають справжнім власним станам.
Стан ψₙ має рівно n вузлів — точок, де функція перетинає нуль. Кожен додатковий вузол збільшує кривизну і, відповідно, кінетичну енергію, тому вищий n відповідає вищій енергії. Підрахунок вузлів — швидкий спосіб визначити квантове число безпосередньо з графіка хвильової функції.
Він моделює коливання молекулярних зв'язків, які спостерігаються в інфрачервоній спектроскопії, коливання кристалічної гратки (фонони), моди електромагнітного поля у квантовій оптиці, а також захоплені іони й атоми. Будь-яка система поблизу стійкої рівноваги за малих відхилень поводиться приблизно як гармонічна, що робить цю модель однією з найпоширеніших у фізиці.