Принцип невизначеності — одна з найглибших істин квантової механіки: неможливо водночас точно знати і положення, і імпульс частинки. Тут гауссів хвильовий пакет показано одночасно у просторі координат і у просторі імпульсів — звузьте його в одному, і він неминуче розпливається в іншому. Цей самий компроміс лежить в основі роботи електронних мікроскопів, обмежень сигналу МРТ і квантового рівня шуму детекторів гравітаційних хвиль на кшталт LIGO.
Δx · Δp ≥ ℏ/2 — Δx це розкид координати, Δp — розкид
імпульсу, а ℏ — зведена стала Планка. Для гауссіана
Δx = σ і Δp = 1/(2σ), що дає точно
Δx·Δp = 1/2 (в одиницях, де ℏ = 1).
Гайзенберг вивів цей принцип у 1927 році, коли йому ще не було й тридцяти; ідеться не про незграбні вимірювальні прилади, а про фундаментальну властивість самих хвиль — навіть ідеальний апарат ніколи не зміг би подолати межу ℏ/2.
Ця симуляція показує одиничний гауссів хвильовий пакет одночасно у просторі координат — як густину ймовірності |ψ(x)|² — і у просторі імпульсів — як |φ(p)|². Обидві картини пов'язані перетворенням Фур'є, тому вони не є незалежними. Що вужчим стає пакет у координатному просторі, то ширшим він має бути в імпульсному, і навпаки — це фундаментальна квантова межа Δx·Δp ≥ ℏ/2 у режимі реального часу.
Повзунок ширини координати σ_x стискає або розтягує ліву дзвоноподібну криву, а повзунок хвильового числа k₀ зсуває середній імпульс, переміщуючи правий пік уліво чи вправо. Рядок відображення показує Δx, Δp і їхній добуток в режимі реального часу. Той самий компроміс визначає практичні межі в електронній мікроскопії, у ядерному магнітному резонансі та у квантовому шумовому рівні детекторів гравітаційних хвиль на кшталт LIGO.
Що насправді стверджує принцип невизначеності Гайзенберга?
Він каже, що координата та імпульс квантової частинки не можуть бути відомі одночасно з довільною точністю. Добуток двох невизначеностей має тверду нижню межу: Δx·Δp ≥ ℏ/2, де ℏ — зведена стала Планка. Це властивість природи, а не недолік вимірювального приладу.
Що зображують дві панелі в цій симуляції?
Ліва панель відображає густину ймовірності у просторі координат |ψ(x)|², яка вказує, де найімовірніше знайти частинку. Права панель відображає густину |φ(p)|² у просторі імпульсів, яка вказує, які значення імпульсу найвірогідніші. Це два погляди на один і той самий квантовий стан, пов'язані перетворенням Фур'є.
Що роблять два повзунки?
Повзунок ширини координати σ_x, що змінюється від 0.02 до 2.0, звужує або розширює хвильовий пакет у просторі координат. Повзунок хвильового числа k₀, що змінюється від −10 до 10, задає середній імпульс, переміщуючи пік у просторі імпульсів уздовж своєї осі, не змінюючи його ширини. Спостерігайте, як реагує рядок відображення, коли ви перетягуєте будь-який з них.
Тому що хвильові функції у просторі координат і в просторі імпульсів є перетвореннями Фур'є одна одної. Різко локалізована функція в одній області автоматично повинна бути розмитою в іншій. Стиснення координатного пакета до ширини σ дає ширину в просторі імпульсів 1/(2σ), тому зі зменшенням σ ця величина зростає. Цей компроміс є неминучим.
Для гауссівського пакета розкид координати становить Δx = σ, а розкид імпульсу — Δp = 1/(2σ), в одиницях де ℏ = 1. Їхній добуток дорівнює точно Δx·Δp = 1/2, що і є ℏ/2. Саме тому рядок відображення завжди знаходиться на нижній межі незалежно від того, як ви встановлюєте ширину.
Гауссівський хвильовий пакет є єдиним станом мінімальної невизначеності. Для будь-якої іншої форми добуток Δx·Δp був би строго більшим за ℏ/2. Оскільки ця симуляція завжди показує лише гауссіан, добуток залишається зафіксованим на своєму теоретичному мінімумі 0.500, що є точним випадком рівності в нерівності.
Відображені нею залежності є точними для ідеального гауссівського стану. Вона використовує аналітичні формули, а не числове перетворення даних, тому відображувані Δx = σ і Δp = 1/(2σ) є точними. Це, однак, статичний знімок — симуляція не розвиває пакет у часі й не враховує розтікання хвильового пакета під дією гамільтоніана.
Ні. Зсув k₀ переміщує центр розподілу імпульсів, але не змінює його ширини, тому Δp залишається 1/(2σ). Аналогічно, Δx визначається тільки σ. Добуток залежить виключно від повзунка ширини, тому k₀ дозволяє досліджувати напрям імпульсу, не порушуючи відношення мінімальної невизначеності.
Не принципово. Хоча вимірювання може збурити систему, принцип невизначеності є глибшим за це. Він виникає тому, що квантовий стан просто не має одночасно точної координати і точного імпульсу. Навіть ідеальний, не збурюючий прилад ніколи не зміг би подолати межу ℏ/2.
Він встановлює межі роздільної здатності в електронній мікроскопії, обмежує відношення сигнал/шум у ядерному магнітному резонансі та МРТ, а також визначає стандартну квантову межу для точних інтерферометрів. Детектори гравітаційних хвиль на кшталт LIGO використовують стиснене світло, щоб перерозподілити цю неминучу невизначеність і покращити чутливість.
Вернер Гайзенберг сформулював його у 1927 році, коли йому ще не було тридцяти, у рамках розробки матричної механіки. Незабаром його переформулював через стандартні відхилення спряжених змінних Ерл Кеннард, отримавши звичний вигляд Δx·Δp ≥ ℏ/2, що використовується в квантовій механіці й донині.