Енергія обмежена дискретними значеннями Eₙ = ħω(n + ½). Кожен рівень показано пунктирною горизонтальною лінією. Проміжні значення заборонені.
Кожна ψₙ(x) обчислюється через рекурентне співвідношення для поліномів Ерміта, помножених на гаусову обгортку. Стан з квантовим числом n має рівно n вузлів.
Режим суперпозиції показує часозалежну густину ймовірності двох власних станів, що інтерферують, ілюструючи квантові биття та теорему Еренфеста.
Квантовий гармонічний осцилятор описує частинку, утриману параболічним потенціалом V(x) = ½mω²x². Розв'язання стаціонарного рівняння Шрьодінгера дає дискретні рівні енергії Eₙ = ħω(n + ½) та набір стаціонарних хвильових функцій ψₙ(x), побудованих з поліномів Ерміта та гаусових обгорток. Кожен рівень має рівно n вузлів, а основний стан (n = 0) зберігає ненульову нульову енергію E₀ = ½ħω через принцип невизначеності Гайзенберга. Симуляція обчислює всі хвильові функції через чисельно стійке тричленне рекурентне співвідношення Ерміта в натуральних одиницях, де ħ = m = 1, і дозволяє налаштовувати кутову частоту ω.
Крім статичних власних станів, режим суперпозиції будує часозалежний когерентний стан із двох сусідніх власних станів, змушуючи густину ймовірності коливатися, наче класична частинка. Це демонструє теорему Еренфеста: математичне очікування координати у когерентній суперпозиції підпорядковується класичному рівнянню руху. Модель лежить в основі молекулярних інфрачервоних спектрів, фononів у твердих тілах, квантованих мод електромагнітного поля в квантовій оптиці та алгебри підвищуючих і понижуючих операторів у квантовій теорії поля.
Що таке квантовий гармонічний осцилятор?
Це модель частинки, утриманої поновлювальною силою, пропорційною до відхилення від рівноваги, що породжує параболічний потенціал. Розв'язання рівняння Шрьодінгера для цього потенціалу дає дискретні рівні енергії та набір нормованих хвильових функцій, побудованих із поліномів Ерміта та гаусових множників.
Що означає формула Eₙ = ħω(n + ½)?
Ця формула задає єдині дозволені енергії частинки у гармонічній ямі. Квантове число n відраховується від нуля. Кожен крок збільшує енергію рівно на ħω, тому рівні рівновіддалені — унікальна властивість параболічного потенціалу. Зсув ½ гарантує, що основний стан лежить вище нуля навіть при n = 0.
Чому основний стан має ненульову енергію?
Частинка у спокої мала б точно визначені координату і імпульс, що порушує принцип невизначеності Гайзенберга. Мінімальна енергія E₀ = ½ħω, яку називають нульовою точкою, — це невідворотне квантове «тремтіння», яке частинка зберігає навіть за абсолютного нуля. Воно має вимірювані наслідки: ефект Казіміра та відмова гелію замерзати під атмосферним тиском.
Кожна ψₙ(x) дорівнює нормувальній константі Nₙ, помноженій на поліном Ерміта Hₙ(ξ) та на exp(−ξ²/2), де ξ = √(mω/ħ)·x — безрозмірна координата. Нормування Nₙ = (2ₙ n! √π)²⊃(−½) забезпечує одиничну повну ймовірність. Симуляція обчислює Hₙ через стійке тричленне рекурентне співвідношення Hₙ = 2ξHₙ⁻¹ − 2(n−1)Hₙ⁻², а не через нестійкий явний степеневий ряд.
Він відображає часозалежну густину імовірності |ψ(x,t)|² для рівновагової суперпозиції власних станів n та n+1. Оскільки обидві компоненти еволюціонують із різними частотами, картина їхньої інтерференції коливається з різницевою частотою (Eₙ₊¹ − Eₙ)/ħ = ω. Середнє значення координати x підпорядковується класичному синусоїдальному руху, ілюструючи теорему Еренфеста.
Рівна відстань ħω зумовлена алгебраїчною структурою гамільтоніана. Підвищуючий і понижуючий оператори a† і a переводять систему рівно на один рівень, а їхнє комутаційне співвідношення [a, a†] = 1 накладає рівномірні сходини. Натомість атом водню має рівні з відстанню ∝ 1/n², а нескінченна квадратна яма — ∝ n².
|ψₙ(x)|² задає ймовірність на одиницю довжини знайти частинку в точці x. При великих n густина концентрується біля класичних точок повороту, де класична частинка рухається найповільніше й проводить найбільше часу. Це класичне граничне відповідне наближення великих квантових чисел — принцип відповідності Бора.
Більша ω збільшує кривизну параболічної ями, роблячи її крутішою і вужчою. Це підіймає всі рівні енергії (Eₙ ∝ ω) і стискає хвильові функції до початку координат. Менша ω розширює яму, знижує рівні й розширює кожну ψₙ. У молекулярній спектроскопії жорсткіші хімічні зв'язки відповідають більшій ω і коротшим інфрачервоним довжинам хвиль.
Квантовий гармонічний осцилятор лежить в основі коливань молекул у інфрачервоній та Раман-спектроскопії, решіткових коливань (фononів) у кристалах, квантованих мод електромагнітного поля в квантовій оптиці та КЕД порожнинах, поля Гіґса у Стандартній моделі та квантових комп'ютерах на пастках іонів. Це канонічний точно розв'язний приклад у кожному підручнику квантової механіки.
Так, у межах одновимірної моделі. Код обчислює точні аналітичні власні стани через тричленне рекурентне співвідношення Ерміта та точні рівні енергії в натуральних одиницях. Амплітуди хвильових функцій масштабовані для наочності, проте форми, кількість вузлів, порядок рівнів і фазові множники часової еволюції суперпозиції фізично коректні.