🎱 Квантовий більярд — Частинка в ящику

Квантовий більярд — це частинка, замкнена у порожнині з жорсткими стінками. Для прямокутника власні стани є добутком синусів: ψ_nx,ny ∝ sin(nπx/L)·sin(mπy/L); для стадіону Бунімовича класичні орбіти хаотичні та квантовий спектр показує відштовхування рівнів — ознаку квантового хаосу. Оберіть геометрію, задайте квантові числа та спостерігайте густину ймовірності |ψ|².

Геометрія

Квантові числа

nₓ 2 n_y / кільце 3

Візуалізація

Часова фаза 0.00

Інформація

E/E₁—

Вузли X—

Вузли Y—

⟨x⟩ / Lx—

ψ_n,m(x,y) =
(2/L)·sin(nπx/L)·sin(mπy/L)
E_n,m = E₁(n²+m²)
E₁ = ℏ²π²/(2mL²)

Про квантовий більярд

Прямокутний більярд є інтегровним: константи руху pₓ та pᵧ квантуються незалежно, що дає регулярні вузлові лінії та ґраткові спектри. Стадіон Бунімовича має цілком хаотичні класичні орбіти, а квантово — розподіл відстаней між рівнями підпорядковується статистиці GUE/GOE (клас унівсерсальності випадкових матриць). Ефект шрамів (Heller, 1984) показує, що деякі власні стани концентрують ймовірність вздовж нестабільних класичних орбіт.