🎱 Квантовий більярд — Частинка в ящику

Квантовий більярд — це частинка, замкнена у порожнині з жорсткими стінками. Для прямокутника власні стани є добутком синусів: ψnx,ny ∝ sin(nπx/L)·sin(mπy/L); для стадіону Бунімовича класичні орбіти хаотичні та квантовий спектр показує відштовхування рівнів — ознаку квантового хаосу. Оберіть геометрію, задайте квантові числа та спостерігайте густину ймовірності |ψ|².

🇬🇧 English

Геометрія

Квантові числа

Візуалізація

Інформація

E/E₁—
Вузли X—
Вузли Y—
⟨x⟩ / Lx—
ψn,m(x,y) =
 (2/L)·sin(nπx/L)·sin(mπy/L)
En,m = E₁(n²+m²)
E₁ = ℏ²π²/(2mL²)

Про квантовий більярд

Прямокутний більярд є інтегровним: константи руху pₓ та pᵧ квантуються незалежно, що дає регулярні вузлові лінії та ґраткові спектри. Стадіон Бунімовича має цілком хаотичні класичні орбіти, а квантово — розподіл відстаней між рівнями підпорядковується статистиці GUE/GOE (клас унівсерсальності випадкових матриць). Ефект шрамів (Heller, 1984) показує, що деякі власні стани концентрують ймовірність вздовж нестабільних класичних орбіт.

Про цю симуляцію

Ця симуляція показує власні стани квантового більярда — частинки, замкненої у площинній порожнині з жорсткими стінками, — у вигляді живої теплової карти |ψ|² на сітці 120×104. Для прямокутника обчислюється точний факторизований розв'язок ψn,m ∝ sin(nπx/L)·sin(mπy/L); для кола, стадіону й трикутника використовуються спрощені наближені модові функції, що відтворюють якісну структуру вузлових ліній, а не точний чисельний розв'язок крайової задачі. Окремий режим «Класичний» прокреслює 3000 прямолінійних відбить точкової частинки в тій самій межі, дозволяючи порівняти регулярний рух (прямокутник, коло) із хаотичним (стадіон Бунімовича) поряд із квантовою картиною.

🔬 Що демонструє

Кольорову карту густини ймовірності |ψ|² (або дійсної частини Re(ψ)) для обраної форми порожнини й квантових чисел nx, ny. Прямокутник використовує точний розв'язок-добуток синусів з енергією En,m = E₁(n²+m²); інші три геометрії (коло, стадіон, трикутник) використовують масковані наближені модові функції, обмежені контуром порожнини, намальовані тією самою кольоровою шкалою — від глибокого синьо-фіолетового (низька густина) через блакитний, зелений, жовтий до червоного (висока густина).

🎮 Як користуватися

Оберіть Геометрію (Прямокутник, Коло, Стадіон, Трикутник) з випадного списку, потім перетягуйте повзунки nx та ny (1–10), щоб задати квантові числа — панель «Інформація» оновлює E/E₁, кількість вузлів та ⟨x⟩/Lx у реальному часі. Перемикайтеся між |ψ|², Re(ψ) та Суперпозицією (яка анімує змішування двох мод прямокутника через повзунок «Часова фаза») кнопками візуалізації, або натисніть «Класичний», щоб натомість прокреслити 3000 відбить точкової частинки, що рухається в тій самій межі.

💡 Чи знали ви?

Стадіон Бунімовича — прямокутник, доповнений двома півколами по краях, — у 1979 році було доведено, що має цілком хаотичну класичну динаміку попри просту форму, бо викривлені кінцеві дуги експоненційно розсіюють близькі траєкторії. Квантово-механічно відстані між його енергетичними рівнями підпорядковуються статистиці випадкових матриць (GOE), тоді як частина його власних станів несподівано «шраміє» — концентрує зайву ймовірність уздовж нестабільних періодичних орбіт; це явище відкрив Ерік Геллер у 1984 році.

Поширені запитання

Що таке квантовий більярд?

Квантовий більярд — це квантово-механічний аналог частинки, що відбивається всередині плоскої порожнини з жорсткими стінками: потенціал дорівнює нулю всередині межі й нескінченності зовні, тож хвильова функція частинки має точно перетворюватися на нуль на стінках. Розв'язання стаціонарного рівняння Шредінгера з такою межовою умовою дає дискретний набір дозволених стоячих хвиль (власних станів), кожен зі своєю енергією — ця симуляція дозволяє обрати форму порожнини й побачити ці стоячі хвилі безпосередньо.

Як розв'язується прямокутний випадок і чим він відрізняється від інших форм?

Для прямокутника межова умова чисто розділяється на незалежні рівняння за x та y, що дає точний аналітичний розв'язок ψn,m(x,y) ∝ sin(nπx/L)·sin(mπy/L) з енергією En,m = E₁(n²+m²). Коло, стадіон і трикутник у цій симуляції загалом не мають таких простих факторизованих розв'язків, тому код замість цього малює спрощені, масковані модові функції, що відтворюють правильну якісну вузлову структуру, а не чисельно точні власні стани, які дало б розв'язання крайової задачі на комп'ютері.

Що показує режим «Класичний» і чому це важливо?

Режим «Класичний» замінює хвильову функцію однією точковою частинкою, запущеною під кутом, заданим поточними значеннями nx, ny, а потім прокреслює 3000 прямолінійних відбить від стінки порожнини за законом дзеркального відбиття. Порівняння цього з квантовою картиною і є суттю досліджень квантового більярда: у прямокутнику чи колі траєкторія лишається на простому повторюваному візерунку (інтегровний рух), а в стадіоні Бунімовича вона блукає непередбачувано і врешті покриває всю порожнину (хаотичний рух), хоча форма виглядає майже так само просто, як прямокутник.

Що таке «квантовий хаос» і як стадіонний більярд це демонструє?

Квантовий хаос — це вивчення того, як поводяться квантові системи, коли їхній класичний аналог є хаотичним, адже саме рівняння Шредінгера лінійне й не може бути буквально хаотичним. Стадіон Бунімовича — класичний приклад: його класичні траєкторії експоненційно чутливі до початкових умов, а його квантові енергетичні рівні статистично відштовхуються одне від одного так само, як власні значення випадкових матриць (ансамблі GOE/GUE), на відміну від регулярного, невідштовхувального спектра інтегровного прямокутника чи кола.

Що таке «шрамування» у квантових більярдах?

Шрамування, відкрите Еріком Геллером у 1984 році, — це явище, коли певні власні стани хаотичного більярда (наприклад, стадіону) несподівано концентрують додаткову густину ймовірності вздовж траєкторії нестабільної класичної періодичної орбіти, замість того щоб рівномірно розподілятися по всій порожнині, як передбачала б наївна квантово-ергодична теорія. Це показує, що навіть у цілком хаотичній системі «привид» простих періодичних класичних траєкторій може лишити видимий відбиток на окремих квантових хвильових функціях.