⚛️ Квантовий гармонічний осцилятор

Квантовий гармонічний осцилятор — маса на пружині в квантовій механіці — одна з найважливіших точно розв'язних моделей фізики. Його рівні енергії E_n = ℏω(n + ½) квантуються кроками ℏω з ненульовою нульовою точковою енергією ½ℏω при n = 0. Хвильові функції є поліномами Ерміта, помноженими на гауссову огинаючу. Ймовірність знайти частинку тунелює за класичні точки повороту ±√(2n+1) (пунктирні лінії). 🇬🇧 English

Відображення

Рівні енергії

Показано всі рівні — оберіть n для збільшення
n0
Енергія Eₙ / ℏω0.5
Точки повороту ±1.00
Вузлів0
Ймовірність тунелювання—

Ключові квантові властивості

При n = 0 (основний стан) хвильова функція є чистою гаусіаною — стан мінімальної невизначеності. При великих n густина ймовірності максимальна поблизу класичних точок повороту (де класичний рух найповільніший), що відновлює принцип відповідності. n-й власний стан має рівно n вузлів. Ймовірність тунелювання швидко зменшується з n, як тільки хвильова функція стає більш класичною. Застосування: коливання молекул (ІЧ-спектроскопія), фонони в твердих тілах, вакуумні флуктуації в квантовій оптиці, ефект Казіміра, стиснені стани в квантових обчисленнях.

Про цю симуляцію

Ця симуляція відтворює точні власні стани квантового гармонічного осцилятора — моделі частинки в параболічному потенціалі V(x) = ½x² (у природних одиницях, де ℏ = ω = m = 1). Кожна хвильова функція ψ_n(x) обчислюється безпосередньо за замкненою формулою — поліном Ерміта H_n(x), помножений на гауссову огинаючу e^(−x²/2) і нормований множником 1/√(2ⁿn!√π) — для квантових чисел n від 0 до 10. Енергія кожного рівня дорівнює E_n = (n + ½)ℏω, тож основний стан має ненульову нульову точкову енергію ½ℏω, а не нуль, як класична частинка у спокої.

🔬 Що показано

Параболічний потенціал V(x) = ½x² намальовано синім, а енергію обраного рівня показано пунктирною горизонтальною лінією на висоті E_n = n + ½. Червоні пунктирні вертикальні лінії позначають класичні точки повороту ±√(2n+1) — межу, яку класична кулька на такій пружині ніколи не змогла б перетнути. Хвильова функція ψ_n(x) або густина ймовірності |ψ_n(x)|² будується навколо цієї лінії енергії, а індикатор ймовірності тунелювання в реальному часі інтегрує |ψ_n|² за межами точок повороту.

🎮 Як користуватися

Пересувайте повзунок Квантове число n (0–10), щоб переходити між власними станами, і спостерігайте, як кількість вузлів хвильової функції зростає рівно на один із кожним кроком. Використовуйте кнопки ψ(x), |ψ|² та Обидва, щоб перемикатися між самою хвильовою функцією, її густиною ймовірності або накладенням обох. Натисніть «Показати всі n ≤ 10», щоб побачити криві всіх власних станів одразу на потенціальній ямі, з підсвіченим обраним рівнем — це дозволяє напряму порівняти кількість вузлів і крок енергії між станами.

💡 Чи знали ви?

Оскільки основний стан (n = 0) є чистою гаусіаною без жодного вузла, це унікальний стан мінімальної невизначеності, дозволений принципом невизначеності Гейзенберга. Зі зростанням n густина ймовірності накопичується поблизу класичних точок повороту — саме там, де класична маса на пружині рухається найповільніше, — що є проявом принципу відповідності між квантовою і класичною механікою, добре видимим у режимі «Показати всі».

Часті запитання

Що саме обчислює ця симуляція?

Вона обчислює точні аналітичні власні стани одновимірного квантового гармонічного осцилятора для квантових чисел n від 0 до 10, використовуючи природні одиниці, де ℏ = ω = m = 1. Кожна хвильова функція має вигляд ψ_n(x) = N_n · H_n(x) · e^(−x²/2), де H_n — поліном Ерміта фізичного типу, обчислений стандартним трьохчленним рекурентним співвідношенням, а N_n = 1/√(2ⁿn!√π) — нормувальна константа. Жодного чисельного розв'язувача диференціальних рівнянь не використовується — це готові підручникові розв'язки у замкненій формі.

Чому енергія основного стану не дорівнює нулю?

Рівні енергії підпорядковуються формулі E_n = (n + ½)ℏω, тож навіть найнижчий стан n = 0 має енергію ½ℏω, а не нуль. Ця нульова точкова енергія є прямим наслідком принципу невизначеності Гейзенберга: частинка, обмежена потенціальною ямою, не може одночасно мати нульовий розкид положення і нульовий розкид імпульсу, тож вона ніколи не може абсолютно нерухомо лежати на дні ями.

Що означають пунктирні лінії на графіку?

Пунктирна горизонтальна лінія позначає енергію E_n = n + ½ (в одиницях ℏω) обраного стану. Пунктирні вертикальні лінії позначають класичні точки повороту при x = ±√(2n+1) — положення, де класична частинка з такою самою повною енергією миттєво зупинилася б і повернула назад, оскільки вся її енергія в цій точці перейшла в потенціальну.

Що означає індикатор ймовірності тунелювання?

Симуляція чисельно інтегрує густину ймовірності |ψ_n(x)|² за межами класичних точок повороту і ділить її на повну ймовірність, отримуючи частку ймовірності квантової частинки, що припадає на класично заборонену область. Ця ймовірність найбільша для основного стану і швидко зменшується зі зростанням n, оскільки стани з вищою енергією стають дедалі більш класичними за характером.

Чому важлива кількість вузлів?

Хвильова функція n-го власного стану ψ_n(x) перетинає нуль рівно n разів, тож кількість вузлів безпосередньо визначає квантове число: основний стан (n = 0) не має жодного вузла і є єдиним гаусовим горбом, а кожен наступний стан додає ще один вузол і ще одне коливання. Це правило підрахунку вузлів — загальна властивість зв'язаних власних функцій в одному вимірі, а не особливість саме гармонічного осцилятора.