Неперервна крива, яка зі зростанням порядку рекурсії прокладає шлях крізь кожну комірку одиничного квадрата. Відкрита Джузеппе Пеано у 1890 році, вона стала першим доказом того, що одновимірна крива може заповнити двовимірну площу.
Цей інструмент малює криву Пеано — першу з відомих кривих, що заповнюють простір, опубліковану Джузеппе Пеано у 1890 році. На кожному кроці рекурсії одиничний квадрат ділиться на сітку 3×3 з підквадратів, і крива проходить крізь усі дев'ять із них неперервним рухом «туди-сюди» — так званим бустрофедоном — стовпець за стовпцем, чергуючи напрямок знизу вгору та згори вниз, а кожна підкопія окремо віддзеркалюється так, щоб уся лінія ніколи не переривалася і не перетиналася сама із собою. Зі зростанням порядку точки кривої наближаються дедалі щільніше до кожного місця в квадраті, ілюструючи, як суто одновимірний об'єкт може, у границі, заповнити двовимірну площу.
Рекурсивне подрібнення одиничного квадрата на сітку 3×3, прокреслене єдиною неперервною траєкторією. На порядку n є 9n відвіданих комірок, розташованих на сітці 3n×3n, і кожен із дев'яти підквадратів на кожному рівні є віддзеркаленою або невіддзеркаленою копією того самого візерунка, обраною так, щоб сусідні комірки завжди були суміжними по стороні.
Задайте порядок рекурсії n (1–5) та швидкість малювання, і спостерігайте, як крива прокреслюється точка за точкою. Увімкніть сітку, щоб побачити базове подрібнення 3n×3n, і перемкніть режим кольору, щоб розфарбувати шлях за прогресом замість одного акцентного кольору. «Перемалювати» відтворює анімацію заново; «Скинути» повертає типові налаштування.
У статті Пеано 1890 року були суто арифметичні формули без жодних ілюстрацій — звичні нам зигзагоподібні зображення його кривої додали пізніші математики, зокрема Гільберт, який всього рік по тому винайшов власний, простіший варіант на основі подрібнення 2×2.
Крива, що заповнює простір, — це неперервна крива, образ якої, у міру нескінченного повторення її побудови, покриває кожну точку області, наприклад квадрата. Попри те, що вона є неперервним образом одновимірного відрізка, вона заповнює справді двовимірну площу — результат, що здавався парадоксальним, коли Джузеппе Пеано вперше довів це у 1890 році.
Одиничний квадрат ділиться на дев'ять рівних підквадратів, розташованих у три стовпці. Крива відвідує стовпці зліва направо, а всередині кожного стовпця рухається згори вниз або знизу вгору залежно від положення стовпця, завжди завершуючи кожен стовпець саме там, де починається наступний. Кожен підквадрат далі рекурсивно містить меншу, окремо віддзеркалену копію цього самого візерунка, зберігаючи неперервність і відсутність самоперетинів на кожному рівні.
Кожен додатковий порядок помножує кількість точок на 9, тож порядок 5 уже дає 95 = 59 049 точок на сітці 243×243 — цього достатньо, щоб візуально заповнити квадрат багато разів. Вищі порядки лише додали б навантаження на рендеринг, не показуючи нічого нового оку, адже за такої щільності крива вже невідрізнима від суцільної заливки.
Обидві є кривими, що заповнюють простір, побудованими шляхом рекурсивного подрібнення, але крива Пеано ділить кожен квадрат на сітку 3×3 з дев'яти комірок, тоді як крива Гільберта, представлена Девідом Гільбертом у 1891 році, ділить його на сітку 2×2 з чотирьох комірок. Варіант Гільберта сьогодні використовується частіше, оскільки його простіша чотиристороння рекурсія дає криву з ще кращими властивостями збереження локальності для таких застосувань, як просторове індексування.
Лише у математичній границі нескінченної кількості подрібнень. За будь-якого скінченного порядку n симуляція малює скінченну множину з 9n вибіркових точок, з'єднаних прямими відрізками, яка наближає справжню криву. Коли n необмежено зростає, кожна точка квадрата стає як завгодно близькою до якоїсь точки кривої — саме це й робить її «такою, що заповнює простір».