Спостерігайте, як відома самоуникна цілочисельна послідовність будується крок за кроком. Кожен новий член з'єднується з попереднім півколом — над лінією при відніманні, під лінією при додаванні — утворюючи класичне «око» Рекамана.
Цей інструмент візуалізує послідовність Рекамана (OEIS A005132) — оманливо просту цілочисельну послідовність, що породжує напрочуд складну картину. Починаючи з нуля, кожен крок або віднімає, або додає номер кроку до попереднього члена, за суворим правилом, що забороняє повторення значень. Зображення кожного переходу у вигляді півкола над або під числовою прямою розкриває знамените петлясте «око», яке послідовність утворює, зростаючи член за членом.
Починаючи з a(0)=0, член a(n) дорівнює a(n-1)−n, коли це значення додатне й ще не траплялося, інакше — a(n-1)+n. Кожен новий член з'єднується з попереднім півколом, намальованим над лінією для віднімання й під нею для додавання, тож уся анімація крок за кроком малює послідовність Рекамана.
Задайте кількість членів для обчислення повзунком членів і швидкість малювання дуг повзунком швидкості. Ставте анімацію на паузу або продовжуйте її в будь-який момент, а кнопкою «Скинути» починайте спочатку. Прокручуйте або зводьте пальці на полотні для масштабування, а перетягуванням — панорамуйте й розглядайте будь-яку частину зростаючого візерунка.
Щоразу, коли крок віднімання мав би дати недодатне або вже вжите число, симуляція змушена натомість додавати — панель статистики веде живий підрахунок цих вимушених «уникнених зіткнень» у міру розгортання послідовності.
Послідовність Рекамана — це цілочисельна послідовність, визначена як a(0)=0, а для n≥1: a(n)=a(n-1)−n, якщо це значення додатне й раніше не траплялося в послідовності, інакше a(n)=a(n-1)+n. Названа на честь колумбійського математика Бернардо Рекамана Сантоса й занесена до каталогу як послідовність OEIS A005132.
Напрямок кожної дуги кодує, яку гілку правила було обрано. Дуга над числовою прямою означає, що член отримано відніманням номера кроку від попереднього члена; дуга під лінією означає, що номер кроку натомість додали, бо віднімання дало б недодатне або вже вжите значення.
Щоразу, коли гілку віднімання a(n-1)−n не можна застосувати — бо результат нульовий чи від'ємний, або бо це значення вже траплялося раніше в послідовності — симуляція натомість переходить до додавання. Панель статистики підраховує, скільки разів це вимушене перемикання вже відбулося.
Ні. Припускають, що кожне невід'ємне ціле число врешті-решт з'являється десь у послідовності Рекамана, і це перевірено обчислювально для величезної кількості членів, але ніхто не довів, що це виконується без винятків для абсолютно кожного числа. Це залишається відкритою проблемою розважальної математики.
Оскільки ранні члени схильні повторно використовувати доволі вузький діапазон значень, дуги, згенеровані на перших кількох сотнях кроків, багаторазово накладаються одна на одну, шаруючи великі та малі півкола з обох боків лінії. Разом ці вкладені петлі нагадують шари ока — візерунок, який зробив послідовність популярною для музичних і генеративно-художніх втілень в інтернеті.