Спостерігайте, як золотий кут розкладає точки у спіраль, головку соняшника та класичну мозаїку з квадратів і дуг. Дізнайтеся, чому одне й те саме співвідношення φ≈1.618034 знову й знову зустрічається в мушлях, шишках і суцвіттях.
Цей інструмент візуалізує спіраль Фібоначчі — візерунок, що утворюється, коли точки розміщують на постійному золотому куті 137.5077° одна від одної й відсувають назовні пропорційно квадратному кореню їхнього індексу. Те саме пакування за золотим кутом, що малює спіраль, також заповнює диск, як головку соняшника, а класична побудова квадратів Фібоначчі показує, де чвертькруглі дуги наближають ту саму криву, використовуючи цілочислові довжини сторін 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…
У режимах «Спіраль» і «Соняшник» точка i розташована на радіусі r=c·√i і куті θ=i·137.5077° — золотому куті, що визначається як 360°/φ², де φ=(1+√5)/2≈1.618034. Режим «Квадрати» натомість вкриває площину квадратами, сторони яких дорівнюють послідовним числам Фібоначчі, і з'єднує їх чвертькруглими дугами — класична побудова золотого прямокутника.
Перемикайте режими кнопками «Спіраль» / «Соняшник» / «Квадрати». Повзунки керують кількістю точок, золотим кутом у градусах і розміром крапки; меню режиму кольору перефарбовує насінини, а прапорець накладення малює з'єднувальну спіраль або рукави Фібоначчі. Кнопка «Зберегти PNG» експортує поточне полотно, а «Скинути» відновлює налаштування за замовчуванням.
Головки соняшника зазвичай показують 34 спіральні рукави, що закручуються в один бік, і 55 — в інший, обидва числа Фібоначчі, — оскільки пакування насінин під золотим кутом є єдиним способом уникнути прогалин у міру росту квітки.
Спіраль Фібоначчі — це візерунок, що виникає, коли точки розміщують одну за одною, кожну повертаючи на золотий кут (близько 137.5077°) відносно попередньої й трохи відсуваючи далі від центру за формулою r=c·√i. Вона тісно пов'язана з, але не тотожна геометричній спіралі, побудованій із чвертькруглих дуг, вписаних у квадрати зі сторонами, що йдуть за послідовністю Фібоначчі.
Золотий кут виникає, коли повний оберт у 360° ділять у золотій пропорції φ: він дорівнює 360°/φ², що становить приблизно 137.5077°. Оскільки цей кут — ірраціональна частка повного оберту, повторюваний поворот на нього ніколи не повертається точно до попереднього напрямку, тож точки розподіляються максимально рівномірно, і жодні дві ніколи не потрапляють на одну радіальну лінію.
Послідовність Фібоначчі — це 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…, де кожне число є сумою двох попередніх. Що далі йти вздовж послідовності, то ближче співвідношення сусідніх членів наближається до φ=(1+√5)/2≈1.618034 — саме того співвідношення, яке визначає золотий кут і золотий прямокутник.
Рослина, що росте, додає нові насінини, лусочки чи листки по одному біля центральної точки росту, кожен повернутий відносно попереднього на приблизно постійний кут. Еволюція обирає золотий кут, бо він пакує новий ріст максимально щільно без прогалин чи надмірного накладання, тому головки соняшників, шишки, ананаси й багато сукулентів демонструють кількість спіральних рукавів, що відповідає числам Фібоначчі.
Режим «Спіраль» безмежно розкладає точки назовні за формулою r=c·√i. Режим «Соняшник» використовує ту саму математику золотого кута, але масштабує радіус так, щоб заповнити фіксований диск еліптичними насінинами, наслідуючи справжню головку квітки. Режим «Квадрати» натомість будує класичну геометричну конструкцію: квадрати з довжинами сторін — числами Фібоначчі, вкладені по спіралі й з'єднані чвертькруглою дугою.