Ця симуляція показує, як метод головних компонент знаходить напрямки найбільшого розкиду у двовимірній хмарі точок. З центрованих даних будується матриця коваріацій 2×2, після чого задача на власні значення розв'язується в замкненій формі за формулою λ = слід/2 ± √(слід²/4 − det). Власні вектори визначають головні осі (ГК1 та ГК2), а їхні власні значення λ₁ і λ₂ задають дисперсію вздовж кожного напрямку.
Оберіть пресетний набір даних (корельована хмара, кластери, коло, діагональна смуга або шум), вкажіть кількість точок n і коефіцієнт кореляції ρ, а потім перегенеруйте. Перемикачі відображають стрілки ГК1 і ГК2 та лінії перпендикулярної проекції на ГК1, тоді як нижня панель будує гістограму проекційних балів. МГК лежить в основі зниження розмірності, стиснення даних, фільтрації шуму та виділення ознак у статистиці та машинному навчанні.
Що таке метод головних компонент?
МГК — це статистичний метод, який повертає координатні осі так, щоб вони збігалися з напрямками найбільшої дисперсії в наборі даних. Перша головна компонента (ГК1) вказує в напрямку найбільшого розкиду, а друга (ГК2) перпендикулярна до неї. Метод широко застосовується для зниження розмірності з максимальним збереженням інформації.
Як симулятор обчислює головні компоненти?
Точки центруються відносно середнього, після чого формується матриця коваріацій 2×2 з елементами s₁₁, s₁₂ та s₂₂ з дільником n−1. Власні значення знаходяться за формулою λ = слід/2 ± √(слід²/4 − det), а власні вектори задають головні напрямки. Це точне замкнене рішення для двовимірних даних.
Що означають синя і червона стрілки?
Синя стрілка — це ГК1, напрямок із найбільшою дисперсією, а червона — ГК2, перпендикулярна до ГК1 і захоплює решту дисперсії. Довжина кожної стрілки масштабується квадратним коренем із відповідного власного значення: довша стрілка означає більший розкид даних вздовж цієї осі.
Пояснена дисперсія — це частка кожного власного значення від суми обох: λᵢ / (λ₁ + λ₂), виражена у відсотках. Вона показує, яку частину загальної мінливості набору даних охоплює компонента. Якщо ГК1 пояснює 95%, дані можна добре описати однією координатою — у цьому і полягає сенс зниження розмірності.
Пресет визначає форму даних, n — кількість точок (від 10 до 300), а ρ — цільову кореляцію між двома змінними для корельованого пресету (від −0,99 до 0,99). Зміна повзунка перегенеровує хмару, за винятком режиму «Свій», де точки розставляються кліком на полотні.
Матриця коваріацій є симетричною, а фундаментальний результат лінійної алгебри стверджує, що симетрична матриця має ортогональні власні вектори. Тому МГК породжує ортонормований набір осей: головні компоненти некорельовані між собою і утворюють суворо прямий кут.
Це лінії проекції. Кожна показує перпендикулярний відрізок від точки даних до осі ГК1, позначаючи, де точка опиняється після зведення до однієї координати. МГК вибирає ГК1 саме так, щоб мінімізувати суму квадратів довжин цих відрізків — що еквівалентно максимізації збереженої дисперсії.
На ній зображено розподіл балів ГК1 — одновимірних координат кожної точки вздовж першої головної компоненти. Так виглядають дані після проекції на одну вісь: двовимірна хмара стискається до одновимірного представлення зі збереженням домінантної структури.
Абсолютно точні. Для двовимірних даних власні значення та вектори матриці коваріацій розв'язуються точно за квадратною формулою, тож результати не є наближеними. Коваріація обчислюється з незміщеним дільником n−1 відповідно до стандартних статистичних конвенцій.
МГК використовується у стисненні зображень і сигналів, аналізі експресії генів, фінансах для виділення ринкових факторів, розпізнаванні облич (eigenfaces) та як крок попередньої обробки перед кластеризацією або регресією. Відкидаючи компоненти з малою дисперсією, метод усуває шум і надлишковість, роблячи подальші моделі швидшими й стійкішими.