Ця симуляція відображає п'ять точок Лагранжа системи двох тіл у системі відліку, що обертається. Розміщуйте тест-частинки, щоб спостерігати, як L4 і L5 є стабільними (лібраційний тип — Трояни), тоді як L1, L2 та L3 є нестабільними сідловими точками.
Ефективний потенціал (система відліку, що обертається):
U = -(1-μ)/r₁ - μ/r₂ - ½(x²+y²)
L4: (½-μ, +√3/2) [рівносторонній трикутник]
L5: (½-μ, -√3/2)
L1/L2 наближення: x ≈ 1-μ ∓ (μ/3)^(1/3)
L3 наближення: x ≈ -(1 + 5μ/12)
Крок RK4: k1=f(t,y), k2=f(t+h/2, y+h·k1/2)
k3=f(t+h/2, y+h·k2/2), k4=f(t+h, y+h·k3)
y(t+h) = y + h(k1+2k2+2k3+k4)/6
Космічний телескоп Джеймса Вебба обертається навколо точки L2 системи Сонце-Земля на відстані ~1,5 млн км від Землі. Його розмістили там, тому що в L2 Сонце, Земля та Місяць завжди знаходяться з одного боку, що дозволяє сонцезахисному щиту одночасно блокувати все їхнє теплове випромінювання — це критично важливо для інфрачервоних детекторів JWST, що охолоджуються до -233 °C.
Точки Лагранжа — це п'ять особливих положень у системі двох тіл (наприклад, Земля-Сонце), де маленький об'єкт може залишатися нерухомим відносно двох більших тіл. У цих точках гравітаційні сили обох масивних тіл і відцентрова сила в системі відліку, що обертається, ідеально врівноважуються.
L4 і L5 динамічно стабільні завдяки силі Коріоліса в системі відліку, що обертається: коли частинку відхиляють від рівноваги, сила Коріоліса повертає її назад у лібраційну орбіту. L1, L2 і L3 є сідловими точками ефективного потенціалу — найменше відхилення спричиняє експоненціальне відхилення частинки від рівноваги.
Космічний телескоп Джеймса Вебба (JWST) обертається навколо точки L2 системи Сонце-Земля. DSCOVR знаходиться в точці L1 для моніторингу сонячного вітру. SOHO та ACE також використовують L1. У точках L4 і L5 системи Сонце-Юпітер знаходяться понад мільйон астероїдів-Троянців.
Гало-орбіта — це періодична тривимірна орбіта навколо точки Лагранжа (зазвичай L1 або L2). На відміну від перебування безпосередньо в точці Лагранжа, космічні апарати, як-от JWST, здійснюють гало-орбіти, щоб уникати затемнень і підтримувати зв'язок. При погляді від первинного тіла така орбіта нагадує німб навколо точки.
Масове відношення μ визначається як m2/(m1+m2), де m1 і m2 — маси двох основних тіл. Для системи Земля-Сонце μ ≈ 3×10⁻⁶. Положення точок Лагранжа залежить лише від цього відношення: для малого μ точки L1 і L2 знаходяться приблизно на відстані (μ/3)^(1/3) від меншого тіла.
У системі відліку, що обертається разом з двома основними тілами, третє тіло відчуває ефективний потенціал: U = -(1-μ)/r₁ - μ/r₂ - (1/2)(x²+y²). П'ять точок Лагранжа є критичними точками цього потенціального рельєфу — сідловими точками та локальними максимумами.
L1, L2 і L3 лежать на лінії, що з'єднує два основних тіла. Їх точні положення визначаються розв'язанням поліному п'ятого степеня (рівняння Ейлера). Наближені формули: L1 при x ≈ 1 - μ - (μ/3)^(1/3), L2 при x ≈ 1 - μ + (μ/3)^(1/3), L3 при x ≈ -(1 + 5μ/12).
Астероїди-Трояни — це малі тіла, що поділяють орбіту з більшою планетою, концентруючись навколо точок L4 і L5 Лагранжа. Найвідоміші — троянці Юпітера (понад мільйон за оцінками). Земля також має принаймні одного підтвердженого троянця: 2010 TK7 у точці L4.
RK4 — чисельний метод розв'язання звичайних диференціальних рівнянь. Він обчислює похідну в чотирьох проміжних точках на кожному часовому кроці, досягаючи точності четвертого порядку. Для небесної механіки RK4 зберігає енергію значно краще, ніж метод Ейлера, тому він є стандартом для симуляцій.
Ні. L1, L2 і L3 є нестабільними рівноважними позиціями — будь-яке мале збурення викликає експоненціальне відхилення. Космічні апарати, розміщені там, потребують регулярних корекційних маневрів. JWST виконує невеликі маневри кожні ~3 тижні, щоб залишатися на гало-орбіті навколо L2.