Симуляція магнетизму методом Монте-Карло на основі моделі Ізінга: кожен спін вибирає напрямок вгору або вниз. При охолодженні атоми поступово впорядковуються в домени і виникає феромагнетизм.
Кожен спін взаємодіє з сусідами: паралельні спіни знижують енергію системи. Тепловий шум намагається порушити порядок. При критичній температурі Кюрі відбувається фазовий перехід — система різко намагнічується.
Регулюйте температуру повзунком і спостерігайте за формуванням магнітних доменів. Підвищте температуру вище точки Кюрі і спостерігайте, як зникає магнетизм. Увімкніть кореляційну функцію для перегляду масштабів порядку.
Двовимірна модель Ізінга була точно розв'язана Ларсом Онзагером у 1944 році — одна з небагатьох точно розв'язних моделей фазового переходу. Тривимірна ж досі не розв'язана аналітично.
Це симуляція повністю тривимірної моделі Ізінга феромагнетика в реальному часі, відрендерена за допомогою WebGL через Three.js. Кубічна ґратка спінів — кожен спрямований вгору (+1, рожевий) або вниз (−1, синій) — еволюціонує за алгоритмом Метрополіса Монте-Карло: випадковий спін пропонується для перевороту й приймається з імовірністю min(1, exp(−ΔE/T)), тож ґратка релаксує до теплової рівноваги. Ви можете обертати куб, регулювати температуру й поле та спостерігати, як зростають або розчиняються впорядковані магнітні домени.
Модель Ізінга — канонічний приклад фазового переходу в статистичній механіці. Нижче температури Кюрі (T_c ≈ 4.51 J/k_B для 3D-кубічної ґратки) спіни спонтанно вирівнюються у феромагнетик навіть без зовнішнього поля — спонтанне порушення симетрії, — тоді як вище неї перемагає тепловий шум і система стає невпорядкованим парамагнетиком. Ті самі ідеї описують магнетизм, впорядкування сплавів і критичні явища в усій фізиці.
Що я бачу в цій 3D-моделі Ізінга?
Ви спостерігаєте кубічну ґратку магнітних спінів, що еволюціонує за алгоритмом Метрополіса Монте-Карло. Кожен маленький куб — це окремий спін: теплі рожеві куби спрямовані вгору (+1), а холодні сині — вниз (−1). Ґратка релаксує до теплової рівноваги за заданої вами температури, тож ви можете спостерігати, як впорядковані феромагнітні домени ростуть або розчиняються у реальному часі, коли ви перетинаєте температуру Кюрі.
Що таке температура Кюрі і чому вона важлива?
Температура Кюрі (критична) T_c позначає фазовий перехід між феромагнітною та парамагнітною фазами. Для 3D-кубічної моделі Ізінга T_c становить приблизно 4.51 J/k_B. Нижче T_c спіни спонтанно вирівнюються навіть без зовнішнього поля — спонтанне порушення симетрії — даючи ненульову намагніченість. Вище T_c тепловий шум руйнує порядок, і середня намагніченість дорівнює нулю.
Як працює алгоритм Метрополіса Монте-Карло?
Кожен крок Монте-Карло обирає випадковий спін і пропонує перевернути його. Обчислюється зміна енергії ΔE = 2 s_i (J × сума спінів сусідів + h). Якщо ΔE від'ємна, переворот приймається завжди; якщо додатна — з імовірністю exp(−ΔE/T). Виконання багатьох таких спроб семплює розподіл Больцмана, тож ґратка встановлюється у правильну теплову рівновагу.
Нижче температури Кюрі напрямки вгору і вниз усе ще однаково вигідні з погляду енергії, проте система змушена колективно обрати один із них і сформувати вирівняні домени. Вибір напрямку, якому самі закони не надають переваги, і є спонтанним порушенням симетрії — ключове поняття для магнетизму, надпровідності та фізики елементарних частинок.
Поле h додає до енергії доданок −h Σ s_i, зміщуючи спіни в бік одного напрямку. Навіть вище температури Кюрі ненульове поле створює деяку сумарну намагніченість, а нижче неї поле здатне перевернути весь магніт з однієї орієнтації домену в іншу.
Оскільки суцільний куб приховав би свою внутрішню частину, три режими дозволяють зазирнути всередину. «Усі (згасання вниз)» залишає спіни вгору непрозорими, а спіни вниз робить майже прозорими, тож домени вгору виділяються. «Лише спіни вгору» повністю приховує всі спіни вниз. «Зріз» показує єдиний внутрішній поперечний переріз через середину ґратки.
Намагніченість m — це середній спін; вона близька до нуля в парамагнетику і зростає до ±1 у міру впорядкування ґратки нижче T_c. Енергія на спін падає, коли сусіди вирівнюються. Спостереження за обома величинами при зміні температури показує різку зміну, яка сигналізує про фазовий перехід.
Більші ґратки (тут до 40³) пригнічують заокруглення, пов'язане зі скінченним розміром, і демонструють різкіший, ближчий до справжньої критичної температури перехід, але вимагають більше оновлень спінів за розгортку й тому працюють повільніше. Менші ґратки реагують швидше, але розмивають перехід.
Так. Вона використовує рендерер Three.js WebGL, що малює ґратку як єдиний InstancedMesh з кубів, з OrbitControls для обертання мишею. Будь-який пристрій з підтримкою WebGL — практично всі телефони та ноутбуки, випущені після 2012 року — запустить її. Піксельне співвідношення обмежене 1.5x, а розмір ґратки регульований, тож ви можете обміняти візуальну деталізацію на частоту кадрів.
Ларс Онзагер точно розв'язав 2D-модель Ізінга у 1944 році — віха статистичної механіки. 3D-модель, яку ви спостерігаєте, ніколи не була розв'язана аналітично; її критичні показники відомі лише з чисельних методів Монте-Карло та конформного бутстрепу.