Фазові переходи

1. Класифікація Еренфеста

Пол Еренфест (1933) класифікував фазові переходи за найнижчою похідною вільної енергії Гіббса G(T, P), яка є розривною в точці переходу:

Сучасна термінологія резервує «фазовий перехід» для переходів першого порядку і «критична точка» або «неперервний перехід» — для другого, хоча обидва неформально називають «фазовими переходами». Переходи третього порядку (де G″ неперервна, але G‴ ні) — рідкісні: деякі рідкокристалічні переходи.

2. Параметр порядку та порушення симетрії

Лев Ландау (1937) ввів поняття параметра порядку ψ для кількісної оцінки ступеня впорядкованості фази. Параметр порядку:

• Дорівнює нулю у невпорядкованій (високотемпературній, висококосиметричній) фазі
• Ненульовий у впорядкованій (низькотемпературній, менш симетричній) фазі
• Неперервний при переходах другого порядку; розривний при першому порядку

Спонтанне порушення симетрії відбувається тоді, коли впорядкована фаза має меншу симетрію, ніж гамільтоніан (мікроскопічна функція енергії). Гамільтоніан феромагнетика симетричний відносно перевороту спіну (H однаковий, всі спіни вгору чи вниз), але нижче T_c система вибирає один напрям намагніченості — порушуючи симетрію спонтанно.

Теорема Голдстоуна стверджує, що коли неперервна симетрія (наприклад, обертальна інваріантність) спонтанно порушується, з'являються безмасові бозонні збудження — моди Голдстоуна. У магнетиках це спінові хвилі (магнони); у надплинних рідинах — фонони.

3. Модель Ізінга

Модель Ізінга — найпростіша статистично-механічна модель, що демонструє фазовий перехід. Запропонована Вільгельмом Ленцем (1920) і названа на честь його учня Ернста Ізінга (який розв'язав 1D випадок у 1925), вона складається з бінарних спінів σᵢ ∈ {−1, +1} на ґратці з взаємодіями найближчих сусідів:

Точні розв'язки

1D Ізінг (Ізінг 1925): Немає фазового переходу при T > 0. Довжина кореляції ξ ~ exp(2J / k_B T) розходиться лише при T → 0.

2D Ізінг (Онсагер 1944): Одне з видатних досягнень фізики XX ст. — точна вільна енергія для квадратної ґратки при h = 0. Критична температура:

3D Ізінг: Точне рішення невідоме. Критична температура для простої кубічної ґратки: k_B T_c / J ≈ 4,5116. Критичні показники, обчислені ренормалізаційною групою та чисельними методами: β ≈ 0,326, ν ≈ 0,630, η ≈ 0,036.

4. Теорія середнього поля та теорія Ландау

Теорія середнього поля замінює справжніх флуктуючих сусідів спіну їхнім середнім значенням ⟨σ⟩ = M:

Розклад вільної енергії Ландау

Поблизу критичної точки, де ψ (параметр порядку) малий, вільну енергію можна розкласти в ряд за степенями ψ за симетрією:

Знак коефіцієнта b визначає порядок переходу. Це основа парадигми Ландау: глобальна фізика поблизу переходу визначається симетрією параметра порядку, а не мікроскопічними деталями. Тому зовсім різні системи можуть мати однакові критичні показники.

5. Критичні показники та універсальність

Поблизу критичної точки другого порядку всі термодинамічні величини розходяться або прямують до нуля як степеневі закони відновленої температури t = (T − T_c) / T_c:

Універсальність — вражаючий факт: критичні показники залежать лише від (1) просторової розмірності d і (2) симетрії параметра порядку (числа його компонент n). Вони не залежать від мікроскопічних деталей — типу ґратки, сили зв'язку або радіусу взаємодії. Саме тому залізо і нікель мають однакові критичні показники, незважаючи на різні електронні структури: обидва є магнетиками класу 3D Ізінга.

6. Ренормалізаційна група — короткий нарис

Ренормалізаційна група (РГ), розроблена Вілсоном і Фішером (1972), пояснює, чому існує універсальність, і надає систематичний метод обчислення критичних показників. Ключова ідея — перетворення огрублення, яке «зумовлює» від мікроскопічного масштабу до ефективної довгохвильової теорії.

Перетворення РГ

1. Блок-спін: Групуємо сусідні спіни в блоки; замінюємо кожен блок одним ефективним спіном правилом більшості або усередненням.
2. Переміщення масштабу: Відновлюємо вихідний крок ґратки множенням усіх довжин на блоковий фактор b.
3. Ренормалізація: Переміщуємо амплітуди спінів для відновлення нормування.

Кожен крок РГ породжує новий ефективний гамільтоніан з ренормованими константами зв'язку. Ітерування перетворення відстежує потік у просторі констант зв'язку. Ключові об'єкти:

Глибокий результат: у критичній точці система є масштабно-інваріантною — виглядає однаково на кожному масштабі довжин. Саме тому з'являються степеневі закони: степеневі закони — єдині масштабно-інваріантні функції. Усі мікроскопічні деталі є нерелевантними операторами під потоком РГ, залишаючи лише клас універсальності (визначений d і n) для визначення критичних показників.

7. Приклади у фізиці

Феромагнітні переходи

Нижче температури Кюрі T_c феромагнети розвивають спонтанну намагніченість навіть без зовнішнього поля. Спіни вирівнюються паралельно завдяки квантовій обмінній взаємодії. Для заліза T_c = 1043 К. При T_c довжина кореляції ξ → ∞ — флуктуації спінів виникають на всіх довжинах, породжуючи характерну критичну опалесценцію.

Надпровідність

Надпровідний перехід — фазовий перехід другого порядку від нормального металу до надпровідника при T_c. Параметр порядку — макроскопічна квантова хвильова функція ψ = |ψ|e^{iφ} куперівських пар. Порушена симетрія — U(1) калібрувальна: фаза φ вибирається спонтанно. Вільна енергія Гінзбурга-Ландау є розкладом Ландау за |ψ|²:

Критична точка рідина-газ

Перехід рідина-газ є переходом першого порядку нижче T_c (рідина і газ співіснують на кривій тиску насичення). У критичній точці (T_c, P_c) лінія переходу першого порядку закінчується — відмінність між рідиною і газом зникає. У критичній точці параметр порядку (різниця густин) прямує до нуля неперервно з показниками 3D Ізінга (β ≈ 0,326), а не середнього поля β = 1/2.

Перколяція та соціальні мережі

Перколяція — суто геометричний фазовий перехід: зв'язки на ґратці займаються з імовірністю p. Нижче порогу p_c всі зв'язані кластери скінченні. Вище p_c з'являється гігантський зв'язаний кластер, що охоплює всю ґратку — це перехід перколяції. Розмір кластера S ~ |p − p_c|^β розходиться при p_c з показниками класу 2D Ізінга. Теорія перколяції моделює поширення лісових пожеж, епідемій та стійкість мереж.

8. JavaScript симуляція Монте-Карло

Алгоритм Метрополіса-Гастінгса моделює 2D модель Ізінга, пропонуючи перевороти одного спіну і приймаючи або відхиляючи їх на основі фактора Больцмана:

// 2D Модель Ізінга — Метрополіс Монте-Карло
// canvas: відображає спінову ґратку; виводить намагніченість і енергію

const N    = 80;    // розмір ґратки (N × N спінів)
const J    = 1.0;   // константа зв'язку (феромагнетик)
const kB   = 1.0;   // стала Больцмана (природні одиниці)
let   T    = 2.5;   // температура (змінити для переміщення через Tc ≈ 2.269)

// Ініціалізуємо ґратку випадково
let spins = Array.from({ length: N }, () =>
  Array.from({ length: N }, () => (Math.random() < 0.5 ? 1 : -1))
);

// Граничні умови (циклічні)
const idx = i => ((i % N) + N) % N;

// Зміна енергії при перевертанні спіну (i,j)
function deltaE(i, j) {
  const s    = spins[i][j];
  const sumN = spins[idx(i-1)][j] + spins[idx(i+1)][j]
             + spins[i][idx(j-1)] + spins[i][idx(j+1)];
  return 2 * J * s * sumN;
}

// Одне прокручування МК = N² спроб перевороту спіну
function mcSweep() {
  for (let k = 0; k < N * N; k++) {
    const i  = Math.floor(Math.random() * N);
    const j  = Math.floor(Math.random() * N);
    const dE = deltaE(i, j);
    if (dE <= 0 || Math.random() < Math.exp(-dE / (kB * T))) {
      spins[i][j] = -spins[i][j];   // приймаємо переворот
    }
  }
}

// Обчислюємо намагніченість (параметр порядку)
function magnetisation() {
  let sum = 0;
  for (let i = 0; i < N; i++)
    for (let j = 0; j < N; j++)
      sum += spins[i][j];
  return Math.abs(sum) / (N * N);
}

// Обчислюємо повну енергію на спін
function energy() {
  let E = 0;
  for (let i = 0; i < N; i++)
    for (let j = 0; j < N; j++)
      E -= J * spins[i][j] * (spins[i][idx(j+1)] + spins[idx(i+1)][j]);
  return E / (N * N);
}

// Відображаємо ґратку на canvas
function render(canvas) {
  const ctx  = canvas.getContext('2d');
  const cell = canvas.width / N;
  for (let i = 0; i < N; i++) {
    for (let j = 0; j < N; j++) {
      ctx.fillStyle = spins[i][j] === 1 ? '#6366f1' : '#1e1e2e';
      ctx.fillRect(j * cell, i * cell, cell, cell);
    }
  }
}

// Цикл анімації
function runSimulation(canvas, steps = 100) {
  let step = 0;
  function frame() {
    mcSweep();
    if (++step % 5 === 0) render(canvas);
    if (step < steps) requestAnimationFrame(frame);
  }
  requestAnimationFrame(frame);
}

// Використання: runSimulation(document.getElementById('ising-canvas'));
        

Вимірювання фазового переходу

// Перебираємо температури для вимірювання M(T) та визначення T_c
async function tempSweep(canvas, Tmin = 1.5, Tmax = 3.5, nT = 20) {
  const results = [];
  const dT = (Tmax - Tmin) / (nT - 1);

  for (let ti = 0; ti < nT; ti++) {
    T = Tmin + ti * dT;

    // Рівноважний стан
    for (let s = 0; s < 500; s++) mcSweep();

    // Вимірювання (середнє за 200 прокручуваннями)
    let mSum = 0, eSum = 0;
    for (let s = 0; s < 200; s++) {
      mcSweep();
      mSum += magnetisation();
      eSum += energy();
    }
    results.push({ T, M: mSum / 200, E: eSum / 200 });
    render(canvas);

    // Передаємо управління браузеру
    await new Promise(r => setTimeout(r, 0));
  }

  return results;
  // results: масив { T, M, E }
  // Побудуйте M від T для спостереження фазового переходу другого порядку при T_c ≈ 2.269
}

// Кумулянт Біндера (масштабування скінченного розміру)
// U_L = 1 − <M⁴> / (3 <M²>²)
// При T_c, U_L однаковий для всіх розмірів системи L → знаходимо T_c без екстраполяції
function binderCumulant(spins) {
  function moment(n) {
    let m = 0;
    for (let i = 0; i < N; i++)
      for (let j = 0; j < N; j++)
        m += spins[i][j];
    m /= N * N;
    return Math.pow(Math.abs(m), n);
  }
  // Усереднюємо <M²> і <M⁴> за багатьма прокручуваннями для точності...
}