Що моделює модель Ізінга?

Модель Ізінга описує колективну поведінку дискретних магнітних спінів на решітці, показуючи, як мікроскопічні взаємодії породжують макроскопічні явища на кшталт спонтанної намагніченості та фазових переходів. Кожен спін взаємодіє зі своїми сусідами, а конкуренція між енергією зв'язку та тепловим безладом визначає перехід від феромагнітної до парамагнітної фази.

Що таке критична температура в моделі Ізінга?

Критична температура Tc — це температура, при якій система переходить від впорядкованої (намагніченої) феромагнітної фази до невпорядкованої парамагнітної. У 2D моделі Ізінга kTc/J = 2/ln(1+√2) ≈ 2.269. Поблизу Tc такі величини, як намагніченість, сприйнятливість і довжина кореляції, розходяться або зникають за універсальними степеневими законами.

Що таке алгоритм Метрополіса і як він застосовується?

Алгоритм Метрополіса — це метод Монте-Карло для вибірки з розподілу Больцмана. У моделі Ізінга: обирається випадковий спін, обчислюється зміна енергії ΔE у разі його перевороту, переворот приймається, якщо ΔE ≤ 0, а інакше — з ймовірністю exp(−ΔE/kT). Повторення цієї процедури генерує конфігурації, розподілені відповідно до теплової рівноваги при температурі T.

🧲 Модель Ізінга

Модель Ізінга (Ернст Ізінг, 1925) — канонічна модель статистичної механіки. Решітка спінів (±1) взаємодіє через зв'язок J із найближчими сусідами; кожен спін вирівнюється або антивирівнюється з сусідами та зовнішнім полем H. Алгоритм Метрополіса–Гастінгса вибирає розподіл Больцмана: переворот спіну завжди приймається при ΔE ≤ 0, інакше з ймовірністю e^(−ΔE/kT). Нижче температури Кюрі T_c ≈ 2.27 J/k з'являється спонтанна намагніченість — фазовий перехід другого роду. 🇬🇧 English

Модель Ізінга

Параметри

Температура T/T_c 1.00 Зовнішнє поле H 0.00 Зв'язок J 1.00

Решітка

Розмір (N×N) 80

Швидкість (проходів/кадр) 5

Намагніченість ⟨m⟩—

Енергія/спін ⟨E⟩—

Сприйнятливість χ—

Кроків (×N²)0

Фізика моделі Ізінга

Гамільтоніан: H = −J Σ sᵢsⱼ − h Σ sᵢ (сума по парах найближчих сусідів). Точна критична температура 2D: k_BT_c = 2J/ln(1+√2) ≈ 2.269 J. При T_c довжина кореляції розходиться (ξ → ∞), утворюючи безмасштабні спінові кластери і критичне уповільнення. Графік покаразує |⟨m⟩| в часі; сприйнятливість χ = N(⟨m²⟩ − ⟨m⟩²)/kT має різкий пік при T_c.

Про симулятор моделі Ізінга

Модель Ізінга — математична модель феромагнетизму в статистичній механіці, вперше запропонована Вільгельмом Ленцом у 1920 році та розв'язана в одновимірному випадку Ернстом Ізінгом у 1925-му. Модель зображує решітку магнітних спінів, кожен з яких набуває значення +1 (вгору) або −1 (вниз), із взаємодією між сусідніми спінами та необов'язковим зовнішнім магнітним полем. Попри свою простоту, вона відтворює найсуттєвішу фізику фазових переходів і стала взірцевою моделлю статистичної фізики.

Енергія конфігурації задається виразом H = −J Σᵢⱼ sᵢsⱼ − h Σᵢ sᵢ, де J — константа зв'язку (J > 0 сприяє паралельному вирівнюванню спінів, тобто феромагнетизму; J < 0 — антипаралельному, тобто антиферомагнетизму), sᵢ — спіни, а h — зовнішнє поле. При низьких температурах теплові флуктуації малі, і спіни вирівнюються, створюючи чисту намагніченість. Вище критичної температури Кюрі Tc флуктуації переважають, і система стає невпорядкованою — відбувається фазовий перехід від феромагнітної до парамагнітної поведінки.

Модель Ізінга моделюють методами Монте-Карло, найчастіше алгоритмом Метрополіса–Гастінгса: пропонується переворот спіну, він приймається, якщо знижує енергію, або приймається з ймовірністю exp(−ΔE/kT), якщо підвищує її. 2D модель Ізінга має точний аналітичний розв'язок, отриманий Ларсом Онзагером у 1944 році, який підтверджує фазовий перехід при Tc = 2J/(k ln(1+√2)). Окрім магнетизму, модель Ізінга застосовують у нейронних мережах (мережі Хопфілда), згортанні білків, динаміці громадської думки та решіткових калібрувальних теоріях.