Повна симуляція більярдного столу з точними пружними зіткненнями, ефектами верхнього та нижнього підкрутки і реалістичним кием. Виставте 15 куль і грайте — фізика сама враховує передачу імпульсу, тертя та збереження енергії.
Пружні зіткнення зберігають і імпульс, і кінетичну енергію. Ефекти обертання додають кутовий момент після контакту, що змінює траєкторію кулі після удару.
Цільтеся за допомогою кия: клацніть і перетягніть. Регулюйте тертя та пружність відскоку повзунками. Виставте нову гру в будь-який момент.
У ідеально пружному зіткненні і імпульс, і кінетична енергія зберігаються. Реальні більярдні кулі мають коефіцієнт відновлення близько 0,95 — вони майже ідеально пружні.
Ця симуляція моделює повноцінний 3D більярдний стіл за допомогою механіки пружних зіткнень із класичної ньютонівської фізики. П'ятнадцять пронумерованих куль плюс битка розглядаються як тверді сфери однакової маси; коли дві кулі стикаються, імпульс і кінетична енергія зберігаються завдяки обміну складовими швидкості вздовж нормалі контакту. Тертя кочення поступово розсіює кінетичну енергію, тоді як коефіцієнт відновлення бортів визначає, скільки швидкості зберігається після удару об борт.
У більярд грають з XV століття, і він давав раннім фізикам наочну настільну лабораторію для законів збереження. Сьогодні ті самі рівняння пружного зіткнення застосовуються в симуляціях молекулярної динаміки, моделях прискорювачів частинок і фізичних рушіях відеоігор.
Пружне зіткнення — це зіткнення, у якому зберігаються і імпульс, і кінетична енергія. У більярді кулі дуже тверді, а час контакту надзвичайно короткий, тож при кожному ударі втрачається дуже мало енергії у вигляді тепла чи звуку. Це означає, що куля, яка рухається, може передати майже всю свою кінетичну енергію тій кулі, по якій вдарила, тому влучний удар може змусити нерухому кулю покотитися майже з тією самою швидкістю, яку мала битка перед ударом.
Натисніть «Розбити (розставити)», щоб вишикувати трикутник із 15 куль. Щоб прицілитися, перетягуйте від битки на столі — напрямок перетягування задає кут удару, а відстань — силу. Крім того, можна скористатися повзунками «Кут прицілювання» та «Сила» на бічній панелі, а потім натиснути «Вдарити по битці». Також можна регулювати повзунок тертя (наскільки швидко кулі сповільнюються) і повзунок відновлення (наскільки пружні борти та зіткнення). Перетягуйте правою кнопкою миші або використовуйте два пальці, щоб обертати камеру, і прокручуйте колесо, щоб масштабувати.
Під час розбиття битка несе всю кінетичну енергію системи. Коли вона вдаряє по верхівці піраміди, імпульс одночасно передається крізь усю піраміду вздовж кожної нормалі контакту куля-куля. Оскільки кожне зіткнення зберігає енергію, ця енергія розходиться крізь скупчення каскадом — крихітні відмінності в точних кутах контакту підсилюються до великих відмінностей у кінцевих позиціях куль, тому жодні два розбиття не виглядають однаково, навіть за однакової початкової швидкості.
Для двох куль однакової маси m, що зіштовхуються пружно, обмін швидкістю вздовж нормалі контакту n становить: v1' = v1 - ((v1-v2)·n)n і v2' = v2 + ((v1-v2)·n)n. У більш загальному випадку різних мас коефіцієнт імпульсу стає рівним 2m2/(m1+m2). Симуляція обчислює одиничну нормаль з вектора, що з'єднує центри двох куль у момент перекриття, застосовує імпульс до обох куль і розводить їх на половину відстані перекриття, щоб запобігти взаємному проникненню. Обертання кочення оновлюється щокадру шляхом обертання сітки кожної сфери навколо осі, перпендикулярної до вектора її швидкості.
Більярдні кулі професійного класу з фенольної смоли мають коефіцієнт відновлення приблизно від 0,92 до 0,98, тобто після удару зберігається 92-98% відносної швидкості вздовж нормалі контакту. Вище значення дає жвавіші відскоки від бортів і між кулями, роблячи гру на позицію через довгий борт стабільнішою. Зелене сукно додає окреме тертя кочення — зазвичай кулі зупиняються протягом 2-4 секунд після удару середньої сили на добре доглянутому столі. У симуляції можна пересувати значення відновлення від 0,5 (млявий) до 1,0 (ідеально пружний), щоб безпосередньо спостерігати ці ефекти.
Так. «Модель більярдної кулі» — класична аналогія в кінетичній теорії газів, де молекули газу ідеалізуються як абсолютно пружні сфери, що стикаються без втрати енергії. Фізики використовують симуляції більярдних куль для вивчення статистичної механіки та розподілу швидкостей Максвелла-Больцмана. У теорії хаосу «більярд Синая» — квадратний стіл із круглою перешкодою в центрі — є визначним прикладом детермінованої системи, що породжує хаотичні траєкторії, доводячи, що класична механіка може демонструвати непередбачувану довгострокову поведінку.
За ідеально пружного зіткнення між двома кулями однакової маси, коли битка вдаряє по прицільній кулі точно в центр (лобовий удар), битка справді повністю зупиняється, а прицільна куля відкочується з початковою швидкістю. Це пряме наслідок одночасного збереження імпульсу та енергії для пружних зіткнень куль однакової маси — єдиний розв'язок обох рівнянь одночасно — це повна передача швидкості вздовж нормалі контакту. На практиці в битці залишається трохи енергії через бічне обертання й недосконалу пружність, але зупинний удар — надійна техніка в більярді для точного розташування битки.
Французький математик і фізик Гаспар-Гюстав де Коріоліс (1792-1843), більш відомий завдяки ефекту Коріоліса в обертових системах відліку, опублікував «Математичну теорію ефектів гри в більярд» у 1835 році — перший строгий математичний розгляд більярду. Він вивів рівняння для кочення, ковзання й обертання куль на суконній поверхні та правильно передбачив траєкторію кулі після ударів із верхнім і нижнім підкрученням. Його робота заклала основу для сучасного розуміння тертя кочення й передачі кутового моменту у фізиці спорту.
Механіка пружних зіткнень з'являється в багатьох жанрах симуляцій. Симуляції руйнування поширюють контакт твердих тіл на матеріали, що ламаються. Симуляції молекулярної динаміки масштабують той самий попарний алгоритм зіткнень до тисяч частинок для моделювання тиску й температури газу. Симуляції ланцюжка доміно демонструють послідовну передачу імпульсу вздовж лінії. Моделі пінболу та аерохокею застосовують відновлення бортів до вигнутих меж. У кожному випадку основна математика — те саме рівняння імпульсу, що й тут; змінюється лише геометрія контактної поверхні та кількість тіл у грі.
Алгоритми виявлення зіткнень і пружного відгуку, розроблені для задач у стилі більярду, є центральними для фізичних рушіїв твердих тіл, що використовуються в розробці ігор (наприклад, Bullet, PhysX, Havok), плануванні траєкторій у робототехніці та тактильному зворотному зв'язку у віртуальній реальності. У промисловості програмне забезпечення методу дискретних елементів (DEM) моделює сипкі матеріали, як-от зерно в силосі чи руду на млині, за допомогою тих самих рівнянь зіткнення пружних сфер. Інженери-ядерники навіть використовують коди перенесення частинок методом Монте-Карло, де нейтрони відстежуються як більярдні кулі-снаряди, що стикаються з атомними ядрами, для прогнозування поведінки реактора.
Класичний більярд на певних формах столу доведено є хаотичним: дві кулі, запущені з траєкторіями, що відрізняються на кут лише в один міліардіан, підуть цілком різними шляхами вже після кількох відбиттів, оскільки малі кутові похибки посилюються експоненційно з кожним відскоком. Цю чутливість до початкових умов — ознаку хаосу — формалізували математики Яків Синай і Леонід Бунімович у 1960-70-х роках за допомогою «гіперболічних більярдів». Дослідження квантових більярдів тривають досі: форми хвильових функцій усередині порожнини відображають хаотичну чи інтегровну природу відповідного класичного більярдного столу, із застосуваннями в мікрохвильових резонаторах і квантових точках.