Геометричний броунівський рух · dS = μS·dt + σS·dW · Логнормальний розподіл · Основа Black-Scholes
Симулюйте кілька траєкторій ціни акції за стохастичним диференційним рівнянням dS = μS·dt + σS·dW — моделлю в основі кількісних фінансів і формули ціноутворення опціонів Black-Scholes.
ГБР — це модель, що лежить в основі формули Black-Scholes. Кожна траєкторія слідує рівнянню dS = μS·dt + σS·dW, де dW — броунівський шум. Логарифм S розподілений нормально — що призводить до логнормального розподілу ціни акції (Семюельсон, 1965). μ — очікувана річна прибутковість; σ — річна волатильність. Жирна пунктирна лінія показує аналітичне середнє E[S] = S₀·e^(μt), яке є вищим за медіану через правосторонню асиметрію логнормального розподілу.
Перетягніть μ до позитивних значень для ринку биків (більшість траєкторій закінчуються вище S₀) або від'ємних — для ведмежого ринку. Збільшіть σ, щоб побачити, як траєкторії розходяться — більше невизначеності, ширший логнормальний розкид. Натисніть «Нова симуляція» для нового ансамблю. Біла пунктирна лінія показує аналітичне середнє E[S] = S₀·e^(μt). Гістограма нижче відображає розподіл фінальних цін — зелені стовпці є результатами вище S₀, червоні — нижче.
Формула Black-Scholes (Фішер Блек, Майрон Шоулз, Роберт Мертон — 1973) отримала Нобелівську премію з економіки у 1997 році. Вона передбачає ГБР із постійними μ та σ — на практиці σ не є постійною («посмішка волатильності»), тому трейдери опціонами використовують складніші моделі: стохастичну волатильність (модель Хестона) або стрибко-дифузійні процеси (модель Мертона). Попри це, ГБР залишається фундаментальним будівельним блоком кількісних фінансів.
Ця симуляція моделює, як ціна акції може змінюватися з часом за допомогою геометричного броунівського руху — стохастичного процесу, що лежить в основі формули Black-Scholes. Кожна траєкторія підкоряється рівнянню dS = μS·dt + σS·dW і будується крок за кроком протягом 252 торгових днів на рік, тож зміни ціни масштабуються відносно поточної ціни й ніколи не стають від'ємними. Починаючи від S₀ = 100, інструмент малює ансамбль траєкторій і обчислює отриманий логнормальний розподіл фінальних цін.
Будуються N незалежних траєкторій ціни за точним розв'язком ГБР S(t) = S₀·exp((μ − σ²/2)t + σ·√t·Z), де Z — стандартний гаусівський шум, що генерується на кожному денному кроці методом Бокса-Мюллера. Жирна біла пунктирна лінія — це аналітичне середнє E[S] = S₀·e^(μt); через правосторонню асиметрію розподілу вона лежить вище медіани. Гістограма знизу групує фінальні ціни за інтервалами, щоб виявити їхню логнормальну форму.
Чотири повзунки задають модель: дрейф μ (від −0,2 до 0,5 на рік), волатильність σ (від 0,05 до 0,8), кількість траєкторій N (від 5 до 50) та горизонт часу T (від 0,25 до 5 років). Позитивний μ дає сценарій бика, від'ємний — ведмедя; збільшення σ ширше розводить траєкторії. Натисніть «Нова симуляція», щоб намалювати свіжий випадковий ансамбль. Панель статистики показує середнє, медіану, мінімум, максимум та відсоток траєкторій, що завершуються вище S₀.
Оскільки прибутковості складаються мультиплікативно, медіанна траєкторія дрейфує нижче середнього навіть за позитивного μ: понад половина траєкторій ГБР може завершитися нижче середнього значення. Це волатильнісне гальмування, відображене членом −σ²/2, і саме тому волатильний актив із позитивною очікуваною прибутковістю все одно може розчарувати типового інвестора.
Геометричний броунівський рух (ГБР) — це стохастичний процес із неперервним часом, у якому пропорційна зміна величини зумовлена сталим дрейфом плюс випадковим броунівським шумом і записується як dS = μS·dt + σS·dW. Оскільки зміна масштабується відносно поточної ціни, ціна залишається додатною, а її логарифм має нормальний розподіл. Це стандартна модель для цін акцій і основа формули опціонів Black-Scholes.
Вона розбиває горизонт часу T на 252 кроки на рік і застосовує на кожному кроці точний дискретний розв'язок S(t) = S₀·exp((μ − σ²/2)·dt + σ·√dt·Z), де Z — стандартне нормальне випадкове число, згенероване перетворенням Бокса-Мюллера. Кожна траєкторія починається від S₀ = 100, і N таких незалежних траєкторій обчислюються заздалегідь перед анімуванням на графіку.
Дрейф μ — це очікувана річна прибутковість, що нахиляє загальний тренд: позитивні значення штовхають більшість траєкторій угору (ринок биків), від'ємні тягнуть їх униз. Волатильність σ — це річне стандартне відхилення прибутковостей, що задає, наскільки широко розходяться траєкторії, тож більша σ дає ширший, більш невизначений розкид фінальних цін.
Це радше корисне наближення, ніж точний опис. ГБР передбачає сталі μ та σ і неперервні траєкторії, але реальні ринки демонструють змінну волатильність (посмішку волатильності), раптові стрибки та важчі хвости, ніж дозволяє логнормальний розподіл. Практики розширюють її моделями стохастичної волатильності, такими як модель Хестона, або стрибко-дифузійними моделями, щоб врахувати ці ефекти.
Логнормальний розподіл цін ГБР має правосторонню асиметрію, тож його середнє E[S] = S₀·e^(μt) піднімається кількома великими результатами й перевищує медіану. Член −σ²/2 у показнику, відомий як волатильнісне гальмування, знижує типову траєкторію навіть тоді, коли очікуване значення зростає, і саме тому пунктирна лінія середнього може лежати вище основної маси траєкторій.