Геометричний броунівський рух · dS = μS·dt + σS·dW · Логнормальний розподіл · Основа Black-Scholes
Симулюйте кілька траєкторій ціни акції за стохастичним диференційним рівнянням dS = μS·dt + σS·dW — моделлю в основі кількісних фінансів і формули ціноутворення опціонів Black-Scholes.
ГБР — це модель, що лежить в основі формули Black-Scholes. Кожна траєкторія слідує рівнянню dS = μS·dt + σS·dW, де dW — броунівський шум. Логарифм S розподілений нормально — що призводить до логнормального розподілу ціни акції (Семюельсон, 1965). μ — очікувана річна прибутковість; σ — річна волатильність. Жирна пунктирна лінія показує аналітичне середнє E[S] = S₀·e^(μt), яке є вищим за медіану через правосторонню асиметрію логнормального розподілу.
Перетягніть μ до позитивних значень для ринку биків (більшість траєкторій закінчуються вище S₀) або від'ємних — для ведмежого ринку. Збільшіть σ, щоб побачити, як траєкторії розходяться — більше невизначеності, ширший логнормальний розкид. Натисніть «Нова симуляція» для нового ансамблю. Біла пунктирна лінія показує аналітичне середнє E[S] = S₀·e^(μt). Гістограма нижче відображає розподіл фінальних цін — зелені стовпці є результатами вище S₀, червоні — нижче.
Формула Black-Scholes (Фішер Блек, Майрон Шоулз, Роберт Мертон — 1973) отримала Нобелівську премію з економіки у 1997 році. Вона передбачає ГБР із постійними μ та σ — на практиці σ не є постійною («посмішка волатильності»), тому трейдери опціонами використовують складніші моделі: стохастичну волатильність (модель Хестона) або стрибко-дифузійні процеси (модель Мертона). Попри це, ГБР залишається фундаментальним будівельним блоком кількісних фінансів.