C = S·N(d₁) − K·e−rT·N(d₂) · Греки: Δ, Γ, Θ, ν
Цей симулятор реалізує формулу Блека-Шоулза-Мертона для ціноутворення європейських опціонів. Він обчислює теоретичну ціну колл та пут опціонів і візуалізує, як ціна змінюється в діапазоні цін базового активу. Діаграма виплат накладає внутрішню вартість на момент експірації на криву поточної ціни опціону, показуючи компонент часової вартості. Нижче графік греків показує, як дельта, гамма, тета та вега змінюються зі спот-ціною.
Фішер Блек, Майрон Шоулз та Роберт Мертон опублікували свою модель ціноутворення опціонів у 1973 році — того ж року, коли відкрилася Чиказька біржа опціонів (CBOE). Шоулз і Мертон отримали Нобелівську премію з економіки у 1997 році за цю роботу. Формула передбачає сталу волатильність та логнормальний розподіл доходностей, що не виконується на реальних ринках — це призводить до відомої посмішки волатильності.
Цей симулятор оцінює європейські колл та пут опціони за моделлю Блека-Шоулза-Мертона. Ціна колл обчислюється за формулою C = S·N(d₁) − K·e−rT·N(d₂), де d₁ = [ln(S/K) + (r + ½σ²)T] / (σ√T), а d₂ = d₁ − σ√T. Симулятор будує графік ціни опціону в діапазоні спот-цін, накладає на нього внутрішню виплату на момент експірації та відображає греків, які вимірюють чутливість опціону до зміни параметрів.
Повзунки задають спот-ціну S, страйк K, час до експірації T (у роках), річну волатильність σ та безризикову ставку r, а перемикач вибирає між колл і пут. Спостерігаючи, як дельта, гамма, тета та вега реагують на зміну вхідних даних, ви розвиваєте інтуїцію щодо того, як трейдери хеджують ризики та оцінюють деривативи на таких біржах, як CBOE, де ця модель 1973 року залишається фундаментальним орієнтиром.
Що саме обчислює цей симулятор?
Він розраховує теоретичну справедливу вартість європейських колл та пут опціонів на актив без дивідендів за формулою Блека-Шоулза-Мертона. Окрім ціни, симулятор показує внутрішню вартість, часову вартість та п'ять греків: дельту, гамму, тету, вегу й ро. Усі значення оновлюються миттєво при переміщенні повзунків.
Яка формула Блека-Шоулза зображена на сторінці?
Для колл: C = S·N(d₁) − K·e−rT·N(d₂), де N — стандартна нормальна функція розподілу. Тут d₁ = [ln(S/K) + (r + ½σ²)T] / (σ√T), а d₂ = d₁ − σ√T. Ціна пут обчислюється через ті самі d₁ і d₂ за допомогою паритету колл-пут.
Що контролює кожен із п'яти повзунків?
Спот-ціна S — поточна ціна базового активу; Страйк K — узгоджена ціна виконання; Час до експірації T — залишковий термін у роках; Волатильність σ — річне стандартне відхилення дохідності; Безризикова ставка r — ставка безперервного нарахування відсотків. Перемикач «Колл/Пут» обирає, який контракт оцінювати та відображати.
Внутрішня вартість — це те, скільки опціон коштував би при негайному виконанні: max(S − K, 0) для колл або max(K − S, 0) для пут. Часова вартість — це решта премії понад цю суму, яка відображає ймовірність того, що опціон до моменту експірації стане ще більш «у грошах». Симулятор показує обидва значення; часова вартість прямує до нуля в міру наближення T до нуля.
Дельта — швидкість зміни ціни відносно спот-ціни; гамма — швидкість зміни самої дельти; тета — щоденне «згорання» часової вартості; вега — чутливість до зміни волатильності на один пункт; ро — чутливість до відсоткових ставок. Симулятор показує тету за день, а вегу і ро — на один відсоток зміни, відповідно до прийнятих торгових конвенцій.
Різниця між двома кривими і є часовою вартістю опціону. Оскільки до моменту експірації завжди залишається певна ймовірність сприятливого руху активу, опціон коштує більше, ніж його негайна вартість виконання. Зменшуючи час до експірації або волатильність, ви побачите, як крива ціни наближається до ламаної лінії внутрішньої виплати.
Це корисна ідеалізація, а не точний опис дійсності. Модель передбачає сталу волатильність, логнормальний розподіл дохідностей, безперервну торгівлю та відсутність транзакційних витрат. Реальні ринки демонструють «жирні хвости» і «посмішку волатильності», де імплікована волатильність змінюється залежно від страйку. Трейдери все одно використовують Блека-Шоулза як спільну мову котирувань, підбираючи волатильність під спостережувані ціни.
Вища волатильність підвищує ціни як колл, так і пут, оскільки ширший розподіл майбутніх результатів збільшує шанс великого сприятливого руху, тоді як можливі втрати обмежені сплаченою премією. Перемістіть повзунок волатильності вгору — і ви побачите, як уся крива ціни підіймається над лінією внутрішньої виплати; вега кількісно виражає цю чутливість.
Гамма вимірює, наскільки швидко змінюється сама дельта зі зміною спот-ціни. Вона досягає піку, коли опціон «на грошах» — поблизу страйку, — бо саме тут невелика зміна ціни найбільше впливає на ймовірність завершення в «у грошах». Далеко «у грошах» або «поза грошима» дельта майже фіксована на 1 або 0, тому гамма прямує до нуля.
Кумулятивний нормальний розподіл N(d₁) і N(d₂) не мають замкненого виразу, тому симулятор використовує раціональну поліноміальну апроксимацію (формула Абрамовіца і Стегана з константами, наприклад 0.254829592 та p = 0.3275911). Це забезпечує точність до кількох десяткових знаків — цілком достатньо для візуалізації цін та греків у реальному часі.
Маркет-мейкери оцінюють і хеджують портфелі, нейтралізуючи греків: дельта-хеджування усуває спрямований ризик, тоді як гамма, вега й тета показують, як часто потрібно перебалансовувати позицію та як «згорання» часу знецінює опціон. Досліджуючи повзунки, ви можете побачити, чому позиція, яка виглядає нейтральною сьогодні, може стати ризикованою зі зміною спот-ціни, волатильності або часу, що залишився.