У 1955 році Енріко Фермі, Джон Паста, Станіслав Улам (та програміст Мері Цинго) запустили одну з перших комп'ютерних симуляцій у фізиці. Вони очікували, що ланцюг слабо нелінійних осциляторів поступово досягне теплової рівноваги — енергія рівномірно розподілиться між усіма нормальними модами. Натомість, після відвідування кількох вищих мод, енергія майже повністю повернулася до першої моди: це і є рекурентність FPU. Відкриття спростувало загальноприйняте уявлення, що слабка нелінійність сама по собі достатня для термалізації.
Встановіть β (нелінійність) на нуль — лінійний ланцюг зберігає всю енергію в моді 1 вічно. Збільшуйте β, щоб побачити витік в моди 2, 3, 4… і наступне повернення. Підвищте початкову енергію E₀ для сильнішої нелінійності та швидших рекурентностей. Відстежуйте більше мод, щоб бачити повний спектр. Жовта пунктирна лінія позначає рівень рівнорозподілу — рівень кожного стовпчика при справжній термалізації.
Парадокс FPU було пояснено у 1960-х завдяки відкриттю солітонів: локалізованих нелінійних хвиль, що проходять крізь одна одну без руйнування. У ланцюзі FPU енергія концентрується в майже-солітонних структурах, які periodically повертають її до початкової моди. При достатньо високій енергії система таки термалізується — але за набагато довші часи, ніж очікувалося. Ця проблема поклала початок усій галузі нелінійної динаміки та інтегровних систем.
Ця симуляція інтегрує FPU β-модель: ланцюг N=32 частинок, з'єднаних пружинами, що мають як лінійну, так і кубічну (β) відновлювальну силу. Рівняння руху інтегруються методом Рунге-Кутта 4-го порядку для максимальної точності. Енергія початково завантажується в одну нормальну моду шляхом відхилення частинок за синусоїдальним шаблоном власної функції. Модові енергії обчислюються через дискретне синусне перетворення відхилень частинок.
Три візуалізації оновлюються одночасно: ланцюг частинок показує фактичні відхилення, пофарбовані за швидкістю; стовпчастий спектр показує розподіл енергії по перших N модах (жовта пунктирна лінія = рівень рівнорозподілу); часові траси відображають енергію кожної моди за останні 300 вимірювань. При β = 0 лише мода 1 має енергію. З β > 0 енергія просочується в моди 2, 3, 4… і повертається — рекурентність.
Що таке рекурентність Фермі-Пасти-Улама?
Це несподіване явище, коли енергія, введена в найнижчу нормальну моду нелінійного ланцюга осциляторів, поширюється на вищі моди, а потім майже повністю повертається до першої моди, замість того щоб розподілитися рівномірно (термалізуватися), як передбачає статистична механіка.
Що контролює параметр β?
β задає силу кубічної нелінійності в силі пружини. При β=0 ланцюг лінійний і енергія ніколи не залишає моду 1. Зі збільшенням β зв'язок між модами зростає, енергія поширюється швидше, рекурентності стають менш точними, а при дуже великих β система може з часом термалізуватися.
Що таке модова енергія і як вона обчислюється?
Нормальна мода — це колективний патерн коливань всього ланцюга. Її енергія обчислюється проектуванням відхилень і швидкостей частинок на синусоїдальну власну функцію моди через дискретне синусне перетворення, а потім оцінюванням кінетичної та потенційної енергії в координаті цієї моди.
Класична статистична механіка та теорема про рівнорозподіл передбачають, що слабко зв'язані системи повинні досягати теплової рівноваги з рівним розподілом енергії між усіма ступенями свободи. Фермі очікував, що це станеться швидко. Натомість енергія продовжувала повертатися до першої моди, що свідчить про те, що слабка нелінійність не гарантує термалізації за доступні часові проміжки.
Вона позначає рівень рівнорозподілу енергії — висоту, до якої кожен стовпчик досягав би, якби повна енергія була рівномірно розподілена між усіма відстежуваними модами. Справжня термалізація привела б усі стовпчики до цього рівня. Рекурентність FPU утримує стовпчик 1 періодично набагато вищим за рівень рівнорозподілу.
У 1965 році Забуський та Краскал показали, що неперервна межа ланцюга FPU є рівнянням Кортевега-де Фріза (КдФ), яке підтримує солітонні розв'язки. Ці локалізовані хвильові форми поширюються без дисперсії та проходять крізь одна одну пружно, пояснюючи чому енергія повертається до початкової моди.
При сильній нелінійності система зрештою виходить з майже-інтегрованого солітонного режиму. Рекурентності стають неповними та нерегулярними, і за дуже довгі часи симуляції система таки наближається до рівнорозподілу — справжньої термалізації. Поріг переходу називається порогом стохастичності FPU.
Використовується RK4 (Рунге-Кутта 4-го порядку) з малим кроком часу, що зберігає повну гамільтонову енергію з високою точністю. Переконатися в цьому можна, спостерігаючи за показником повної енергії — він має залишатися майже незмінним протягом симуляції.
Оригінальний розрахунок FPU 1955 року використовував N=32 або N=64. З 32 внутрішніми частинками період рекурентності достатньо короткий, щоб спостерігати його в реальному часі, а модова структура легко відображається на екрані.
α-модель додає квадратичний нелінійний член (αΔx²) до сили пружини; β-модель, що використовується тут, додає кубічний член (βΔx³). β-модель простіша для аналізу, оскільки зберігає симетрію відображення x → −x ланцюга. Обидві моделі демонструють явище рекурентності.
Проблема FPU запустила вивчення інтегрованих систем, гамільтонового хаосу та обчислювальної фізики як дисципліни. Вона вплинула на КАМ-теорему (Колмогоров-Арнольд-Мозер) про збереження квазіперіодичних орбіт, і пов'язана з дослідженнями дискретних бризерів, хвиль-вбивць та нелінійної динаміки ґраток, що активно досліджуються сьогодні.