Симулятор демпфованого гармонічного осцилятора для системи маса-пружина-демпфер, відпущеної зі стану спокою. Розв'язує рівняння m x'' + c x' + k x = 0 у замкненому вигляді для трьох режимів демпфування: недодемпфований (ζ < 1, згасаюче коливання), критично демпфований (ζ = 1, найшвидше повернення без коливань) та передемпфований (ζ > 1, повільне повернення без коливань). Змінюйте масу, жорсткість пружини та коефіцієнт демпфування, щоб змінити власну частоту ω₀ і коефіцієнт демпфування ζ, і спостерігайте, як анімована система пружина-маса заспокоюється поруч із живим графіком зміщення від часу з накладеною кривою експоненційного згасання.
Маса на пружині з тертям — одна з найкорисніших моделей у фізиці, бо весь рух описують лише дві сили. Пружина створює відновлювальну силу, пропорційну зміщенню, F = −kx (закон Гука), яка завжди тягне масу назад до рівноваги. Демпфер — амортизатор, опір повітря, внутрішнє тертя — створює силу, пропорційну швидкості, F = −cx', яка завжди протидіє руху. Другий закон Ньютона тоді дає m x'' + c x' + k x = 0, або рівносильно x'' + 2ζω₀x' + ω₀²x = 0, де ω₀ = √(k/m) — власна частота, з якою маса коливалася б без демпфування, а ζ = c / (2√(km)) — коефіцієнт демпфування.
Це єдине число ζ визначає весь якісний характер руху, незалежно від конкретних значень m, k і c, що його утворюють. Коли ζ < 1 (недодемпфований режим) система проходить рівновагу з перегином і коливається зі спадаючою амплітудою — так дзвенить слабко демпфована гітарна струна чи дзвін. Коли ζ = 1 (критично демпфований режим) система повертається до рівноваги за найкоротший можливий час без перегину — на цю точку налаштовані багато дверних доводчиків і деякі підвіски автомобілів. Коли ζ > 1 (передемпфований режим) система повільно повзе до рівноваги, теж без коливань, як у сильно демпфованому гідравлічному доводчику. Автомобільні амортизатори свідомо конструюють поблизу критичного демпфування: замало демпфування (мале ζ) — і машина підстрибує після кожної вибоїни; забагато (велике ζ) — і підвіска здається жорсткою та повільно заспокоюється. Ця симуляція розв'язує визначальне рівняння в замкненому вигляді для кожного режиму й показує точний аналітичний розв'язок — без числового дрейфу, з безперервною поведінкою при переході ζ через 1.
Що змінюють елементи керування?
Маса m (0,1–5 кг) і жорсткість k (1–200 Н/м) задають власну частоту ω₀ = √(k/m) — швидкість, з якою система коливалася б без тертя. Демпфування c (0–30 Н·с/м) задає, наскільки сильно опирається швидкості. Разом вони визначають коефіцієнт демпфування ζ = c/(2√(km)), єдине число, що вирішує, чи рух недодемпфований, критично демпфований чи передемпфований. Кнопка «Скинути» перезапускає рух з t = 0 з поточними налаштуваннями.
Що таке власна частота ω₀?
ω₀ = √(k/m) — кутова частота, з якою пара пружина-маса коливалася б без жодного демпфування (c = 0). Вона залежить лише від жорсткості й маси — жорсткіша пружина або легша маса обидві підвищують ω₀. Демпфування ніколи не змінює саму ω₀; воно лише змінює, наскільки швидко згасають коливання на цій (чи близькій) частоті, а за сильного демпфування — чи коливається система взагалі.
Чому на графіку показані пунктирні лінії?
Пунктирні жовтогарячі криві — це огортаюча ±A(t) = ±x₀e^(−ζω₀t), експоненційна межа, яку описують піки коливання. Їх малюють лише для недодемпфованого випадку, де рух справді коливається всередині цієї стискної огортаючої. Для критичного та передемпфованого руху коливань немає, тож і огортаючу не показують.
Коефіцієнт демпфування ζ = c/(2√(km)) — це безрозмірне число, що порівнює фактичне демпфування з «критичним» значенням, потрібним, щоб якраз запобігти коливанням. Він важливий, бо саме він — а не окремі значення m, k чи c — визначає якісну форму руху: коливання зі згасанням (ζ < 1), найшвидше повернення без перегину (ζ = 1) або повільне повернення без перегину (ζ > 1). Будь-яке поєднання маси, жорсткості й демпфування, що дає те саме ζ, поводиться однаково, лише в іншому масштабі часу, заданому ω₀.
Обидва повертаються до рівноваги без коливань, але критично демпфований (ζ = 1) робить це за найменший можливий час — це найшвидша неколивна відповідь, досяжна для тієї власної частоти. Передемпфований (ζ > 1) має стільки тертя, що рух сповільнюється ще більше; він також ніколи не проходить рівновагу з перегином, але заспокоюється помітно довше, ніж критично демпфований випадок з тією самою ω₀. Математично критичне демпфування — це межа, де два спадні експоненційні члени передемпфованого розв'язку зливаються в один повторний корінь.
Підвіска із замалим демпфуванням (недодемпфована) продовжує підстрибувати після кожної вибоїни, що відчувається як тряска й погіршує зчеплення шин. Підвіска із забагатим демпфуванням (передемпфована) поглинає удари, але передає жорсткість, бо надто сильно опирається руху та повільно заспокоюється. Налаштування амортизатора так, щоб ζ було близько до 1, дає найшвидше можливе заспокоєння з мінімальним чи відсутнім перегином — гарний компроміс між комфортом і керованістю, тому більшість амортизаторів пасажирських автомобілів налаштовані близько до, хоча часто трохи нижче, критичного демпфування.
У недодемпфованому режимі період T = 2π/ω_d, де ω_d = ω₀√(1 − ζ²). Коли ζ зростає до 1, ω_d зменшується до нуля, тож період розтягується все довше й довше — система коливається все повільніше, наближаючись до критичного значення. Щойно ζ досягає 1, ω_d стає нулем, і поняття періоду перестає застосовуватися взагалі: рух більше не перетинає рівновагу більше одного разу, тож немає між чим вимірювати період.
Ні — демпфування не знищує енергію, воно перетворює механічну енергію в теплоту через тертя, в'язкий опір чи внутрішні втрати матеріалу, так само, як звичайне тертя робить в інших розділах фізики. Повна енергія (механічна плюс тепло) все ще зберігається; зменшується лише механічна енергія, накопичена в пружині та рухомій масі, тому амплітуда коливань з часом стискається, а не триває вічно.
Вона припускає ідеалізовану лінійну пружину (сила точно пропорційна зміщенню) і лінійне в'язке демпфування (сила точно пропорційна швидкості), обидва сталі незалежно від амплітуди. Реальні системи можуть мати нелінійну жорсткість при великому зміщенні, сухе (кулонівське) тертя, що не масштабується зі швидкістю, температурно залежне демпфування або масу з власною внутрішньою гнучкістю. Симулятор також відпускає масу зі стану спокою за фіксованого початкового зміщення, а не дозволяє задати початкову швидкість.