Симулятор машини Атвуда: два вантажі, m1 і m2, підвішені на невагомій нерозтяжній нитці, що проходить через блок радіуса R із регульованим моментом інерції I_p. Чисте прискорення дорівнює a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²), а натяг нитки з кожного боку, T1 = m1(g − a) і T2 = m2(g + a), однаковий лише для ідеального блока (I_p = 0). Змінюйте обидва вантажі та момент інерції блока, щоб бачити, як змінюються прискорення, асиметрія натягу й обертання блока, а потім натисніть скидання, щоб знову відпустити вантажі з верху їхнього шляху.
Машину Атвуда — два вантажі, з'єднані ниткою через блок — винайшов у 1784 році Джордж Атвуд, англійський математик, як спосіб уповільнити й безпосередньо перевірити вільне падіння відповідно до другого закону Ньютона. Оскільки рушійна сила — лише невелика різниця між двома вантажами, m1 − m2, тоді як прискорювана інерція — це їхня сума, m1 + m2, отримане прискорення a = (m1 − m2)g / (m1 + m2) можна зробити значно меншим за g. Це дало змогу за допомогою грубих годинників і лінійок вісімнадцятого століття достатньо точно вимірювати час руху, щоб підтвердити, що прискорення стале й пропорційне силі, і навіть отримати придатну оцінку g.
Цей симулятор розширює класичну установку блоком, який може мати власний момент інерції, I_p. Ідеальний, невагомий блок просто перенаправляє нитку, тож натяг однаковий з обох боків: T1 = T2 = 2m1m2g/(m1+m2). Реальний блок має масу і сам має отримувати кутове прискорення від чистого моменту сил двох натягів нитки, що вимагає T1 ≠ T2, коли блок чинить опір розкручуванню. Повний результат, a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²), показує, що додатковий доданок інерції I_p/R² діє точно як додаткова маса в знаменнику — він сповільнює систему, не змінюючи, яка сторона опускається. Оскільки машина Атвуда виокремлює чистий, регульований зв'язок між силою, масою та моментом інерції, вона й досі є основним інструментом вступних лабораторій механіки для вимірювання g і демонстрації другого закону Ньютона за контрольованого, малого прискорення.
Для чого використовується машина Атвуда?
Це класичний навчальний і вимірювальний прилад: два вантажі підвішені на нитці через блок, і невелика різниця між ними створює повільне, легко вимірюване прискорення. Фізичні лабораторії використовують її, щоб перевірити другий закон Ньютона, вимірити місцеве прискорення вільного падіння g, і показати, як натяг і прискорення залежать від маси, а коли сам блок має масу — і від моменту інерції.
Чому натяг однаковий з обох боків лише для ідеального блока?
Ідеальний блок вважається невагомим і без тертя, тож він не створює власного чистого моменту сили — він лише перенаправляє нитку, і той самий натяг проходить без змін, тобто T1 = T2. Реальний блок має масу й момент інерції I_p, і саме чистий момент сили від двох різних натягів розкручує його. Це вимагає, щоб T1 і T2 відрізнялися, коли блок прискорюється, що ви й можете побачити в цьому симуляторі, піднявши I_p вище нуля.
Що станеться, якщо m1 дорівнює m2?
Чисельник формули прискорення, m1 − m2, стає нулем, тож a = 0 незалежно від моменту інерції блока. Обидва натяги стають рівними m·g (вазі кожного вантажу), система перебуває в статичній рівновазі, і жоден вантаж не рухається — нитка залишається збалансованою над блоком, так само як симетричні гойдалки лишаються рівними.
Момент інерції входить у формулу прискорення як додатковий доданок, I_p/R², додаваний до сумарної маси m1 + m2 у знаменнику: a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²). Більший I_p (за незмінного радіуса R) робить знаменник більшим, а прискорення меншим, бо частина гравітаційної енергії, яка інакше прискорювала б вантажі, витрачається на розкручування блока. Це також розділяє натяг: T1 = m1(g − a) і T2 = m2(g + a) вже не рівні, коли a зменшується через додатковий доданок інерції.
Модель припускає невагому, ідеально нерозтяжну нитку, яка ніколи не ковзає по блоку, вісь без тертя і відсутність опору повітря. Вона також припускає, що нитка залишається натягнутою, а вантажі рухаються лише вертикально. Реальні експерименти мають справу з розтягуванням нитки, тертям у підшипниках, опором повітря для більших вантажів і скінченною масою нитки — усе це ця ідеалізована модель відкидає, щоб виокремити основний зв'язок другого закону Ньютона.
Оскільки прискорення a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²) зазвичай набагато менше за прискорення вільного падіння g, його можна точно вимірювати простими секундомірами або фотодатчиками на відомій відстані падіння. Розв'язавши формулу відносно g і підставивши вимірене a, відомі маси та, якщо це не незначно, момент інерції та радіус блока, отримують експериментальне значення g, яке саме падаюче тіло було б занадто швидким, щоб вимірити безпосередньо базовим обладнанням.
Джордж Атвуд описав прилад у 1784 році в статті для Королівського товариства саме для того, щоб забезпечити контрольований, відтворюваний спосіб перевірити й продемонструвати закони рівноприскореного руху, які Ньютон описав приблизно століттям раніше. Обмінявши велике, важко вимірюване прискорення вільного падіння на мале, регульоване, Атвуд перетворив абстрактний закон на практичну класну демонстрацію — роль, яку прилад виконує й досі.
T1 — це натяг сегмента нитки, з'єднаного з m1, а T2 — натяг сегмента, з'єднаного з m2. Для ідеального, невагомого блока вони мають бути рівними, бо блок передає натяг без зміни. Для блока з реальним моментом інерції два сегменти тягнуть край блока з різними силами, тож чистий момент сили, (T1 − T2)·R, забезпечує кутове прискорення, потрібне для розкручування блока, тому T1 і T2 розходяться зі збільшенням I_p.
Кожен блок малюється більшим зі збільшенням повзунка маси — це лише візуальна підказка: симуляція масштабує розмір блока за значенням маси, щоб ви одразу бачили, яка сторона важча, без читання числового показника. Сама фізика використовує точні значення повзунків у формулах прискорення й натягу; розмір блока — суто косметичний і не впливає на розрахунок.