Симулятор збереження кутового моменту, що використовує фігуристку, яка обертається, як модельну систему. Фігуристка — це жорсткий торс плюс дві точкові маси-руки, що утримуються на регульованому радіусі від осі обертання. За відсутності зовнішнього моменту сили кутовий момент L = I·ω зберігається точно, тож перетягування повзунка розведення рук змінює момент інерції I, а кутова швидкість ω оновлюється наживо, щоб зберегти L сталим. Обертальна кінетична енергія зростає, коли руки притискаються, оскільки фігуристка виконує механічну роботу проти ефективної відцентрової сили — енергія тут не безкоштовна, зберігається лише кутовий момент.
Кутовий момент визначається як L = Iω, добуток моменту інерції об'єкта I (міри того, як його маса розподілена відносно осі обертання) та його кутової швидкості ω. Коли на обертальну систему не діє зовнішній момент сили, L має лишатися абсолютно сталим — це обертальний аналог збереження лінійного імпульсу. У цій симуляції момент інерції фігуристки дорівнює I(r) = Iторс + 2·mрука·r², де дві точкові маси "руки" масою mрука розташовані на радіусі r від осі обертання. Притискання рук зменшує r, що зменшує I, оскільки маса руки наближається до осі; оскільки L = Iω не може змінюватися без моменту сили, ω має зрости для компенсації — фігуристка обертається швидше суто як геометричний наслідок перерозподілу власної маси.
Саме це використовують справжні фігуристи, коли різко притискають руки та ногу до тіла під час обертання; те саме робить пірнальник чи гімнаст, компактно згортаючись, щоб швидше здійснити сальто; так падаюча кішка може перевернутися прямо без будь-якого зовнішнього моменту сили; а в астрофізичному масштабі — саме тому колапсуюче ядро зорі різко прискорює обертання, коли його радіус зменшується, зрештою утворюючи швидко обертовий пульсар. Усе це має енергетичну ціну: обертальна кінетична енергія дорівнює KE = L²/(2I), тож коли I падає, KE зростає, навіть попри те що L незмінний. Ця додаткова енергія не з'являється безкоштовно — м'язи фігуристки мають виконати реальну механічну роботу, притягуючи руки досередини проти ефективної відцентрової сили, що відчувається в обертовій системі відліку. Енергія не зберігається для власне обертального руху фігуристки; зберігається лише кутовий момент, оскільки гравітація та лід не створюють моменту сили відносно осі обертання.
Чому фігуристка обертається швидше, коли притискає руки?
Тому що кутовий момент L = Iω зберігається, коли на фігуристку не діє зовнішній момент сили. Притискання рук до осі обертання зменшує момент інерції I, а оскільки L не може змінюватися, кутова швидкість ω має зрости пропорційно, щоб зберегти добуток Iω сталим. Це той самий ефект перерозподілу маси, який можна відчути на кріслі, що обертається.
Хіба це не порушує закон збереження енергії?
Ні. Обертальна кінетична енергія KE = L²/(2I) справді зростає зі зменшенням I, але ця енергія з'являється завдяки реальній механічній роботі, яку виконують м'язи фігуристки, притягуючи руки досередини проти ефективної відцентрової сили в обертовій системі відліку. Кутовий момент зберігається, тому що немає зовнішнього моменту сили; кінетична енергія сама по собі не зберігається, оскільки м'язи фігуристки виконують роботу над системою.
Що таке кутовий момент і чому він тут зберігається?
Кутовий момент L = Iω вимірює, скільки обертального "руху" несе обертовий об'єкт. Він змінюється лише у відповідь на зовнішній момент сили (другий закон Ньютона для обертання). На льоду гравітація діє прямовисно вниз через центр мас фігуристки, а нормальна реакція льоду — прямовисно вгору через ту саму вісь, тож жодна з них не створює моменту сили відносно вертикальної осі обертання. За нульового сумарного моменту сили L зберігається точно, незалежно від того, як фігуристка перерозподіляє свою масу.
Ні — загальна маса (тіло плюс обидві руки) лишається сталою протягом усього процесу. Змінюється лише розподіл цієї маси відносно осі обертання зі зміною радіуса розведення рук r. Момент інерції залежить і від маси, і від того, наскільки далеко кожна частка маси розташована від осі (I = Σm·d²), тож переміщення тієї самої маси ближче до осі зменшує I без видалення жодної маси.
Пірнальник чи гімнаст компактно згортається в тугу кулю, щоб обертатися чи робити сальто швидше в повітрі, а потім розпрямляється, щоб уповільнити обертання перед приземленням. Падаюча кішка скручує передню й задню половини в протилежних напрямках з різними положеннями кінцівок, щоб випрямитися без жодного зовнішнього моменту сили. У значно більшому масштабі колапсуюче ядро зорі зберігає свій кутовий момент, стискаючись від тисяч кілометрів до кількох кілометрів у поперечнику, розкручуючись до сотень обертів за секунду й утворюючи пульсар.
Вона ідеалізує фігуристку як жорсткий торс із фіксованим моментом інерції плюс дві точкові маси на регульованому радіусі, ігноруючи справжній розподілений розподіл маси рук, ніг і торса, будь-яке тертя з льодом, опір повітря, а також невеликий момент сили, який справжнє лезо ковзана може створити під час ковзання. Вона також трактує зміну розведення як миттєву, а не моделює м'язову силу й скінченний час, справді потрібний для переміщення рук.
Повзунок розведення рук задає r, живий радіус точкових мас-рук від осі обертання (0,15 м у повністю притиснутому положенні до 0,9 м у повністю розведеному); переміщення його під час обертання фігури миттєво змінює момент інерції, а кутова швидкість реагує наживо, щоб зберегти L сталим. Повзунок початкової швидкості обертання (ω₀) перевстановлює збережений кутовий момент L, використовуючи поточне розведення й обрану швидкість обертання. Кнопка "Скинути" повертає руки в повністю розведене положення й перевстановлює L з повзунка ω₀.
Кожен кадр перераховує ω(r) = L / I(r) з живого розведення r та фіксованого збереженого кутового моменту L, потім інтегрує кут обертання вперед за формулою φ += ω(r)·dt, використовуючи фактичний час, що минув між кадрами. Оскільки ω перераховується з нуля щокадру, а не кешується, перетягування повзунка розведення під час обертання дає миттєву, безперервну зміну швидкості обертання, а не затриману чи ступінчасту.
Сам закон збереження — L = Iω сталий за нульового зовнішнього моменту сили — є точним, і саме це симулятор забезпечує щокадру. Конкретні числові значення (момент інерції торса 0,8 кг·м², дві руки-точки масою 3 кг, діапазон розведення 0,15–0,9 м) є розумними наближеннями порядку величини для дорослого фігуриста, а не біомеханічно точною моделлю, обраними так, щоб продемонстрована фізика відповідала реальній інтуїції про катання на ковзанах.