Ця симуляція моделює осцилятор маса-пружина-демпфер під дією періодичної зовнішньої сили F(t) = F₀·cos(ωt). Коли частота збудження ω наближається до власної частоти системи ω₀ = √(k/m), усталена амплітуда коливань різко зростає — це і є механічний резонанс. Користувачі можуть у реальному часі змінювати масу, жорсткість пружини, згасання та частоту збудження й спостерігати, як змінюються крива резонансу A(ω) та крива зсуву фаз φ(ω).
Вимушений резонанс займає центральне місце у фізиці та інженерії: радіоприймачі використовують його для вибору частоти мовлення, музичні інструменти покладаються на нього для підсилення певних тонів, а інженери-конструктори мусять проєктувати мости й будівлі так, щоб уникнути руйнівного резонансу з частотами вітру чи землетрусів.
Вимушений резонанс виникає, коли коливальна система зазнає впливу періодичної зовнішньої сили, частота якої збігається з власною частотою системи. За такої умови система найефективніше поглинає енергію збуджувальної сили, тому амплітуда коливань досягає різкого максимуму. Власна частота визначається фізичними властивостями системи — для осцилятора пружина-маса вона дорівнює ω₀ = √(k/m).
Встановіть масу m, жорсткість пружини k і згасання b повзунками на лівій панелі, а потім повільно перетягуйте повзунок частоти збудження ω до відображеної власної частоти ω₀. Спостерігайте, як амплітуда переміщення різко зростає, коли ω наближається до ω₀. Для найяскравішого ефекту зменшіть згасання b до малого значення (менше 1 Н·с/м) і скористайтеся кнопкою «Автосканування ω», щоб автоматично пройти діапазон від низьких до високих частот, поки крива резонансу будується наживо.
Нижче власної частоти осцилятор рухається майже синфазно зі збуджувальною силою (зсув фаз близький до 0°). Точно при резонансі зсув фаз завжди дорівнює рівно 90°, незалежно від величини згасання. Вище резонансу зсув фаз наближається до 180°, тобто маса рухається у напрямку, протилежному прикладеній силі. Ця ознака 90° при резонансі лежить в основі багатьох методів визначення частоти.
Добротність Q = √(m·k) / b показує, наскільки гострим є пік резонансу. Система з високою добротністю (мале згасання) має вузький, високий пік резонансу і продовжує коливатися ще багато циклів, перш ніж загаснути. Система з низькою добротністю (сильне згасання) має широкий, пологий пік. Q також дорівнює відношенню енергії, накопиченої в осциляторі, до енергії, розсіяної за один радіан коливання, і приблизно вказує кількість циклів коливань, потрібних для того, щоб амплітуда впала до 1/e від початкового значення після зникнення збуджувальної сили.
Обвалення мосту Такома-Нарровз у листопаді 1940 року — найчастіше згадуваний приклад, хоча механізмом там був радше аеропружний флатер, а не чистий резонанс: вітер створював самопідсилювані крутильні коливання. До прикладів чистішого резонансного руйнування належить міст в Анже (1850), де крок солдатів, що марширували, збігся з власною частотою мосту й спричинив його обвалення, після чого з'явилося військове правило «збивати крок» на мостах. Резонанс також відповідальний за розбивання келихів безперервним чистим тоном на власній частоті скла.
Поширена помилка полягає в тому, що незгасаюча система при резонансі миттєво досягає нескінченної амплітуди. Насправді в ідеалізованій незгасаючій системі амплітуда зростає необмежено лише асимптотично з часом, а на практиці всі реальні системи мають певне згасання, яке обмежує пік. Інша помилка — що пік амплітуди припадає точно на ω₀; для згасаючого осцилятора пік амплітуди трохи нижчий за ω₀ і дорівнює ω_пік = √(ω₀² − b²/(2m²)), зміщуючись нижче зі зростанням згасання.
Математичний опис вимушених гармонічних коливань розвивався протягом XVIII-XIX століть. Даніель Бернуллі досліджував коливання струн і принцип суперпозиції близько 1750 року. Жан Лерон д'Аламбер та Леонард Ейлер зробили внесок у фундаментальні рівняння хвиль і коливань. Повна лінійна модель згасаючого вимушеного осцилятора, включно з формулою амплітуди резонансу, постала із синтезу ньютонівської механіки з роботами таких учених, як Джордж Габріель Стокс (в'язке згасання, 1851) та згодом Герман фон Гельмгольц, який пов'язав резонанс з акустикою та слухом у своїй праці 1863 року «Про відчуття тону».
До безпосередньо пов'язаних явищ належать прості гармонічні коливання (пружина-маса без збудження), зв'язані осцилятори й нормальні моди, параметричний резонанс (коли параметр системи періодично змінюється) та нелінійні осцилятори на кшталт осцилятора Дуффінга. Резонанс також проявляється у фізиці хвиль як стоячі хвилі та в квантовій механіці як осциляції Рабі. Симуляції тканини й рідини на цьому сайті містять коливальні нестійкості, що мають спільну математичну структуру з вимушеним резонансом.
Інженери використовують вимушений резонанс у радіо- та телевізійних тюнерах (LC-контур резонує на обраній частоті мовлення), кварцових генераторах (застосовуються в годинниках і процесорах, добротність Q понад 10 000), магнітно-резонансній томографії (протони в МРТ збуджуються на їхній ларморівській резонансній частоті в магнітному полі) та MEMS-датчиках (мікроскопічні резонатори виявляють прискорення, тиск чи зміни маси через зсуви частоти). Не менш важливим є проєктування «анти-резонансу»: підвіски, віброізолятори та настроєні маси-демпфери створюють так, щоб запобігти руйнівному резонансу конструкцій.
До активних напрямів досліджень належать нелінійний резонанс у мікро- та наноелектромеханічних системах (NEMS), де квантові ефекти стають значущими при кріогенних температурах; топологічні фононні кристали, що спрямовують механічні хвилі за допомогою резонансних заборонених зон; стохастичний резонанс, коли додавання шуму до зашумленої системи всупереч інтуїції покращує виявлення сигналу; та збір вібраційної енергії, коли навколишні механічні коливання перетворюються на електричну енергію за допомогою п'єзоелектричних резонаторів, налаштованих на домінантну частоту середовища. Параметричне підсилення за допомогою вимушеного резонансу також досліджується для зчитування кубітів у квантових обчисленнях.