Числова апертура та роздільна здатність

1. Що вимірює числова апертура

Наведіть лінзу (чи об'єктив мікроскопа, чи торець оптоволокна) на джерело світла — вона зможе зібрати лише ті промені, що потрапляють у деякий максимальний півкут θ від її оптичної осі; промені, що приходять під більшим кутом, просто минають лінзу. Числова апертура (NA) — це одне число, що описує, наскільки широкий цей приймальний конус, у поєднанні з показником заломлення середовища, крізь яке рухається світло, входячи у лінзу.

NA керує двома речами, що на перший погляд не пов'язані: скільки світла лінза може зібрати (її «швидкість» або яскравість) — і, що набагато фундаментальніше, найменшим розміром деталі, яку вона взагалі може розрізнити, хоч би яким чудовим було скло чи якою ретельною полірування.

2. Формула: NA = n·sinθ

де n — показник заломлення середовища між лінзою та об'єктом (1.0 для повітря, ~1.33 для води, ~1.51 для типової імерсійної олії), а θ — півкут найширшого конуса світла, який лінза може прийняти чи випромінити, виміряний від оптичної осі.

Оскільки sin θ ніколи не може перевищити 1, лінза, що працює у повітрі, ніколи не може мати NA > 1 — теоретична стеля для «сухого» об'єктива. Найкращі сухі об'єктиви мікроскопів досягають NA ≈ 0.95 (θ ≈ 72°), впритул наближаючись до цієї стелі. Щоб піднятися вище, потрібно змінити саме середовище, а не просто розширити конус — саме це роблять імерсійні об'єктиви (див. розділ 5).

3. Дифракція та диск Ейрі

Навіть математично ідеальна лінза без жодних аберацій не може сформувати нескінченно різке точкове зображення точкового джерела. Оскільки апертура лінзи скінченна, вона обрізає вхідний сферичний хвильовий фронт, і дифракція розмиває зображення точки на центральну яскраву пляму, оточену слабкими концентричними кільцями — патерн Ейрі, вперше проаналізований Джорджем Бідделлом Ейрі у 1835 році. Радіус центрального диска (до першого темного кільця) дорівнює:

Більша NA збирає ширший конус дифрагованого світла і стискає диск Ейрі до меншого розміру — це і є вся фізична причина, чому вища числова апертура дає точнішу роздільну здатність.

4. Критерій Релея та дифракційна межа Аббе

Два точкові джерела вважаються щойно розрізненими за критерієм лорда Релея 1879 року, коли центр диска Ейрі одного джерела потрапляє точно на перше темне кільце іншого. Це дає мінімальну розрізнювану відстань:

Тісно пов'язана формула, виведена Ернстом Аббе у 1873 році з теорії дифракційної решітки, а не з візуалізації точкових джерел, описує найменшу періодичну структуру (наприклад, дифракційну решітку чи зразок з тонкими смугами), яку мікроскоп може розрізнити при освітленні повним конусом світла від відповідного конденсора:

Обидві формули по суті кажуть одне й те саме: роздільна здатність лінійно покращується з ростом числової апертури і лінійно з коротшою довжиною хвилі. Жодна з формул взагалі не залежить від збільшення — поширена помилкова думка, що «більше наближення» показує дрібніші деталі, але за межею дифракції додаткове збільшення лише збільшує розмиття (так зване «порожнє збільшення»).

5. Долаючи повітря: імерсійні об'єктиви

Оскільки NA = n sin θ, а sin θ ніколи не може перевищити 1, єдиний спосіб піти далі за NA = 1 — підвищити n. Масляно-імерсійні об'єктиви заповнюють проміжок між передньою лінзою та зразком олією, узгодженою з показником заломлення скляного покривного скельця (n ≈ 1.51 — навмисно обрано рівним типовому крон-склу). Це робить одразу дві речі:

• Піднімає досяжну NA значно вище 1 (до приблизно 1.4–1.5 для найкращих об'єктивів), безпосередньо зменшуючи дифракційну межу за формулою Аббе.
• Усуває заломлення, яке інакше відбувалося б на межі скло-повітря, тому промені, що інакше зігнулися б убік і загубилися (або зазнали б повного внутрішнього відбиття, як описано в супутній статті про закон Снелла та ПВВ), натомість рухаються по прямій лінії в об'єктив — тобто масляна імерсія одночасно і збирає більше світла, і збирає його з ширшого реального кута.

Водно-імерсійні об'єктиви (n ≈ 1.33) — компроміс, корисний для зображення живих клітин, де олія непрактична, досягаючи NA приблизно до 1.2.

6. Компроміси числової апертури

• Глибина різкості зменшується зі зростанням NA. Об'єктив з високою NA чудово розрізняє найдрібніші латеральні деталі, але має надзвичайно тонкий шар у фокусі (глибина різкості спадає приблизно як 1/NA²), тому потужні масляні об'єктиви потребують дуже точного, вільного від вібрацій фокусування.
• Робоча відстань зменшується зі зростанням NA. Ширший приймальний конус геометрично змушує передню лінзу розташовуватися набагато ближче до зразка — об'єктиви 60× масляні часто працюють на відстані частки міліметра від покривного скельця.
• В оптоволокні NA також визначає приймальний конус для введення світла у серцевину волокна і безпосередньо пов'язана з критичним кутом, розглянутим у статті про закон Снелла: NA = √(n_{серцевини}² − n_{оболонки}²). Волокна з вищою NA легше приймають світло (добре для дешевих світлодіодних джерел), але підтримують більше мод поширення, що збільшує модову дисперсію і обмежує пропускну здатність — одна з причин, чому магістральне телеком-волокно навмисно використовує низьку NA, одномодову конструкцію.