Закон Снелла та повне внутрішнє відбиття

1. Чому світло згинається на межі середовищ

Світло рухається з різною швидкістю в різних середовищах. У вакуумі воно рухається зі швидкістю c = 299 792 458 м/с; у воді сповільнюється приблизно до 0.75c, у склі — до 0.66c. Це сповільнення описує показник заломлення n = c / v — безрозмірне число, що дорівнює 1.0003 для повітря, 1.33 для води та 1.5–1.9 для звичайного скла.

Коли промінь перетинає межу двох середовищ під кутом, один край хвильового фронту входить у повільніше середовище раніше за інший. Цей край «загальмовується», що повертає напрямок руху — так само згинається шеренга оркестру, коли один її фланг ступає на болото, а решта ще йде асфальтом. Промінь згинається до нормалі, входячи у щільніше середовище, та від нормалі, виходячи з нього.

2. Виведення закону Снелла з принципу Ферма

Принцип Ферма стверджує, що світло рухається між двома точками шляхом, який вимагає найменшого часу (точніше, стаціонарного часу — локального екстремуму). Розглянемо промінь, що виходить з точки A у середовищі 1 (показник n₁), перетинає плоску межу і приходить у точку B у середовищі 2 (показник n₂). Нехай точка перетину знаходиться на горизонтальній відстані x прямо під A.

Мінімізація t(x) означає прирівняти dt/dx до нуля. Диференціюючи і враховуючи, що x/√(a²+x²) = sin θ₁ та (d−x)/√(b²+(d−x)²) = sin θ₂ (синуси кутів, виміряних від нормалі), рівняння зводиться до:

Це вражає: заплутана геометрична оптимізація зводиться до однорядкового співвідношення між синусами кутів падіння та заломлення. Тут нічого не сказано про те, чому світло «обирає» найшвидший шлях — глибше пояснення дає хвильова картина (принцип Гюйгенса) або квантова електродинаміка, де підсумовуються всі можливі шляхи, а виживають лише ті, що близькі до шляху зі стаціонарним часом, завдяки деструктивній інтерференції інших.

3. Критичний кут і повне внутрішнє відбиття

Перепишемо закон Снелла для кута заломлення при переході з щільнішого середовища (n₁) у рідше (n₂ < n₁):

Оскільки n₁/n₂ > 1, sin θ₂ зростає швидше за sin θ₁. При певному куті падіння θ_c sin θ₂ досягає рівно 1 — тобто θ₂ = 90°, і заломлений промінь ковзає вздовж самої межі. За цим кутом математичного розв'язку для θ₂ уже немає: жодне світло не може заломитися назовні. Кожен фотон відбивається назад у щільніше середовище. Це повне внутрішнє відбиття (ПВВ).

На відміну від звичайного відбиття від дзеркала, ПВВ 100% ефективне — без поглинання, без часткового пропускання, за умови чистих поверхонь і справді нижчого показника другого середовища. Кілька прикладів критичних кутів для світла, що йде зі щільнішого середовища у повітря (n₂ ≈ 1.0):

Зверніть увагу на надзвичайно малий критичний кут діаманта: світлу, що входить в огранений діамант, важко знайти вихідний кут менший за 24.4°, тож воно багато разів відбивається всередині, перш ніж вийти назовні — одна з причин, чому правильно огранені діаманти виглядають настільки блискучими.

4. Застосування: оптоволокно, діаманти, міражі

Оптоволокно

Скляне волокно має серцевину з трохи вищим показником заломлення, ніж навколишня оболонка (типово n_{серцевини} ≈ 1.46, n_{оболонки} ≈ 1.44). Будь-який промінь, що входить у межах прийомного конуса волокна, влучає в межу серцевина-оболонка під кутом крутішим за критичний і зазнає ПВВ знову і знову, «стрибаючи» вздовж волокна на кілометри з майже нульовими втратами. Цю ж фізику детальніше розглянуто у статті про оптоволокно, включно з пов'язаним поняттям числової апертури.

Блиск дорогоцінного каміння

Огранувальники діамантів використовують малий критичний кут діаманта (24.4°), обираючи кути граней так, щоб світло, що входить зверху, завжди потрапляло на нижні грані під кутом крутішим за θ_c і відбивалося назад до глядача, а не витікало знизу каменя.

Міражі

Гаряче повітря біля асфальту менш щільне і має трохи нижчий показник заломлення, ніж прохолодніше повітря вище. Світло з неба, що йде під дуже пологим (майже дотичним) кутом до землі, може перевищити локальний критичний кут між цими тонкими шарами повітря, що постійно змінюються, і зігнутися назад угору — мозок інтерпретує цей вигнутий промінь як «відбиття» від неіснуючої калюжі. Це неперервне заломлення, а не одна різка межа, але саме та ж умова критичного кута визначає, коли промінь повертає назад.

5. За критичним кутом: еванесцентна хвиля

Повне внутрішнє відбиття — це не зовсім «нічого не відбувається» з протилежного боку межі. Рівняння Максвелла вимагають неперервності поля на межі, тому одразу за поверхнею існує тонка, непоширювана еванесцентна хвиля, що згасає експоненційно з відстанню:

Якщо друге середовище зі схожим показником заломлення піднести приблизно на одну довжину хвилі до межі, це еванесцентне поле може передати енергію через проміжок, і світло «тунелює» крізь — прямий оптичний аналог квантового тунелювання, відомий як фрустроване повне внутрішнє відбиття. Використовується у кубах-розділювачах пучка та сканерах відбитків пальців.

6. Закон Снелла у коді ray tracing

Надійна функція заломлення (використовується у ray tracer'ах, і в симуляціях, посилання на які нижче) повинна виявляти ПВВ і повертатися до чистого відбиття, коли воно трапляється:

function refract(incident, normal, n1, n2):
  cosI = -dot(normal, incident)
  eta  = n1 / n2
  k = 1 - eta*eta * (1 - cosI*cosI)

  if k < 0:
    // Повне внутрішнє відбиття: заломленого променя не існує
    return reflect(incident, normal)

  cosT = sqrt(k)
  return eta * incident + (eta * cosI - cosT) * normal

Ключова гілка — k < 0: вона точно відповідає sin θ₂ > 1 у алгебрі вище — моменту, коли закон Снелла вичерпує дійсні розв'язки і відбиття стає єдиним варіантом.