Хімія та хімічна кінетика — реакційно-дифузійні процеси, горіння та кислотно-основні рівноваги

Хімія як динамічна система

Кожна хімічна реакція є динамічною системою: концентрації змінюються з часом за диференціальними рівняннями, рівноваги виникають як нерухомі точки, а нелінійний зв'язок між реакціями може породжувати коливання, хвилі та самоорганізовані просторові візерунки. Той самий математичний інструментарій, що описує маятник — фазові портрети, аналіз стійкості, діаграми біфуркацій — застосовується безпосередньо до хімічної кінетики.

Це робить хімію унікально придатною для симуляції. На відміну від живого лабораторного експерименту, симуляція дозволяє зупинити час, обернути його, наблизити окремі фронти реакції та миттєво коригувати константи швидкості, щоб побачити, що відбувається на межі нестійкості. Шість симуляцій цього випуску охоплюють від реакцій, що тривають мікросекунди, до біогеохімічних циклів, що тривають століття.

Шар 1: самоорганізація — візерунки Тюрінга

Реакційно-дифузійна симуляція

У 1952 році Алан Тюрінг опублікував статтю, що не мала жодного стосунку до комп'ютерів. Він показав, що система з двох хімікатів — активатора, який сприяє власному виробленню, та інгібітора, що його пригнічує — у поєднанні з різними швидкостями дифузії може спонтанно порушити просторову симетрію та створити стабільні візерунки: плями, смуги та лабіринти. Ці "візерунки Тюрінга" пояснюють смуги на зебрах, плями на леопардах і гребені на відбитках пальців.

Диференціальні рівняння в частинних похідних (неперервні):
  ∂U/∂t = D_U · ∇²U  -  U·V²  +  f·(1-U)
  ∂V/∂t = D_V · ∇²V  +  U·V²  -  (f+k)·V

U = концентрація активатора  [0, 1]
V = концентрація інгібітора  [0, 1]
D_U, D_V = коефіцієнти дифузії  (D_U > D_V для утворення візерунків)
f = швидкість подачі (поповнення U)
k = швидкість вилучення (видалення V)

Режими візерунків (простір параметрів f, k):
  f=0.035, k=0.065 → плями (леопард)
  f=0.060, k=0.062 → смуги (зебра)
  f=0.025, k=0.060 → рухомі плями (корали)
  f=0.014, k=0.054 → лабіринтоподібний (відбиток пальця)
  f=0.039, k=0.058 → черв'яки + плями

Реалізація на WebGL:
  Пінг-понг фреймбуфери (A↔B на кожному кадрі)
  Фрагментний шейдер: лапласіан через 9-точковий трафарет
  Формат текстури: RG32F (U у R, V у G)
  Роздільна здатність: 512×512 → 262 143 клітини оновлюються за кадр

Реакційно-дифузійна симуляція реалізує систему Грея-Скотта на сітці WebGL 512×512, що оновлюється в реальному часі. Панорамуйте простір параметрів (f, k) і спостерігайте, як візерунок трансформується — від ізольованих плям до лабіринтних каналів і рухомих хвиль — без перезапуску симуляції. Малюйте початкові засіви курсором і дивіться, як візерунок росте з вашого дотику.

Шар 2: швидка кінетика — горіння

Симуляція горіння

Горіння — найенергетично значуща хімія на Землі — воно живить кожен літак, корабель і більшість електромереж. Це також одна з найскладніших хімій: реальне полум'я вуглеводнів включає сотні одночасних реакцій, ланцюгове розгалуження, вільні радикали та теплове зворотне зчеплення. Симуляція фокусується на ключовій феноменології: запалюванні, поширенні фронту полум'я та умовах для вибухового дефлаграційного горіння проти детонації.

Закон швидкості Арреніуса:
  k(T) = A · exp(-E_a / R·T)
  A   = передекспоненційний множник [моль⁻¹·м³·с⁻¹]
  E_a = енергія активації [Дж/моль]
  R   = 8.314 Дж/(моль·К)
  Подвоєння T з 300К до 600К може збільшити k у 10⁶ разів

Ланцюгове розгалуження H₂/O₂ (спрощено):
  H + O₂ → OH + O    (ланцюгове розгалуження, E_a=70 кДж/моль)
  O + H₂ → OH + H    (ланцюгове розгалуження)
  H + O₂ + M → HO₂ + M  (обрив ланцюга при високому P)

Межі вибуховості:
  Перша (низький P):   обрив ланцюга на стінках > розгалуження → без вибуху
  Друга (~1 атм):       розгалуження > обрив  → вибух
  Третя (високий P):    тепловий розгін → вибух

Дефлаграція проти детонації:
  Дефлаграція: полум'я поширюється зі швидкістю 0.5–5 м/с, дозвуково
  Детонація:   ударно-зв'язане полум'я 1500–3000 м/с, надзвуково
  Швидкість Чепмена-Жуге: D_CJ = √(2(γ²-1)·q)  (q = виділення тепла)

Симуляція горіння моделює 2D реактивну течію, використовуючи спрощений одностадійний механізм Арреніуса. Встановіть співвідношення паливо-повітря, початкову температуру й тиск; потім запаліть іскрою. Спостерігайте, як фронт полум'я прискорюється, коли тепло від зони реакції підігріває незгорілу суміш. Змінюйте коефіцієнт еквівалентності нижче бідної межі та дивіться, як полум'я гасне; зробіть суміш багатою й спостерігайте неповне згоряння та утворення попередників сажі.

Шар 3: рівноважна хімія — кислотно-основні реакції

Кислотно-основна симуляція

Кислотно-основна хімія лежить в основі біохімії (активні центри ферментів, буферизація крові), наук про довкілля (закислення океану, кислотні дощі) та промислової обробки (титрування, контроль pH у реакторах). Математика рівноваги елегантна: жменька констант рівноваги повністю визначає pH і форми існування навіть складних багатокомпонентних систем.

Рівновага води:
  Kw = [H⁺][OH⁻] = 1×10⁻¹⁴  (при 25°C)
  pH + pOH = 14

Рівновага слабкої кислоти:
  HA ⇌ H⁺ + A⁻
  Ka = [H⁺][A⁻] / [HA]       pKa = -log₁₀(Ka)

Рівняння Хендерсона-Хассельбаха:
  pH = pKa + log₁₀([A⁻]/[HA])
  Буферний діапазон: pKa ± 1  (від 10:1 до 1:10)

Крива титрування (сильна кислота проти сильної основи):
  До точки екв.:  pH = -log[H⁺]_надлишок
  У точці екв.:   pH = 7 (чиста вода)
  Після точки екв.: pH = 14 + log[OH⁻]_надлишок

Титрування слабкої кислоти:
  Напівточка екв.:  pH = pKa  (центр буферної області)
  Точка еквівалентності: pH > 7  (гідроліз спряженої основи)

Приклади:
  Оцтова кислота:    pKa = 4.76  (оцет)
  Вугільна кислота:  pKa = 6.35  (кров, океанічний CO₂)
  Амоній:            pKa = 9.25  (засоби для чищення)
  Фосфорна кислота:  pKa = 2.15, 7.20, 12.35  (біологічний буфер)

Кислотно-основна симуляція будує інтерактивні криві титрування для будь-якої комбінації сильних/слабких кислот і основ. Додавайте віртуальні краплі титранту повзунком і спостерігайте, як крива pH різко змінюється у точці еквівалентності. Увімкніть накладення індикатора — лакмус, фенолфталеїн, бромтимоловий синій — і подивіться, який колірний діапазон охоплює кожен. Графік буферної ємності показує точно, де розчин найефективніше протидіє зміні pH.

Шар 4: фазовий перехід — ріст кристалів

Симуляція росту кристалів

Коли пересичений розчин або переохолоджений розплав починає кристалізуватися, форма кристала, що росте, визначається конкуренцією між анізотропією поверхневої енергії та дифузійно-обмеженим транспортом. Та сама математика керує дендритами сніжинок, ростом металевих зерен у сплавах і мінеральними структурами в геологічних утвореннях.

Дифузійно-обмежена агрегація (DLA):
  Випадковий блукач вивільняється з межі
  Прилипає при першому контакті з кластером, що росте
  Фрактальна розмірність D ≈ 1.71 у 2D

Модель фазового поля (Кобаяші 1993):
  ∂φ/∂t = ε²·∇²φ + φ(1-φ)(φ - 1/2 + m)
  ∂T/∂t = ∇²T + ∂φ/∂t      (зв'язок із прихованою теплотою)

  φ ∈ [0,1]: параметр порядку (рідина=0, тверде тіло=1)
  ε = параметр товщини межі поділу
  m = рушійна сила = (T_плавлення - T) / T_плавлення

Анізотропія (дендритні гілки):
  ε(θ) = ε̄ · (1 + δ·cos(N·θ))
  N=4 → кубічний кристал (6-кратна → гексагональна)
  δ=0.05: слабка анізотропія → компактний кристал
  δ=0.15: сильна анізотропія → виражені дендрити

Критерій сніжинки:
  N=6, δ≈0.05, D=0.5 → гексагональні дендрити сніжинки
  Відстань між гілками ∝ √(D·t)  (дифузійно-обмежено)

Симуляція росту кристалів дозволяє обрати між DLA (агрегація випадкових блукачів) і моделлю фазового поля. Спостерігайте, як DLA утворює культову фрактальну форму цвітної капусти, потім перейдіть до фазового поля й налаштуйте силу анізотропії, щоб виростити дендрити, схожі на сніжинки. Зміна швидкості охолодження зсуває морфологію від компактних зерен до довгих, тонких гілок — саме та поведінка, яку металурги контролюють, щоб проєктувати мікроструктуру виливків.

Шар 5: динаміка ліків — фармакокінетика

Симуляція фармакокінетики

Після ковтання таблетки ліки проходять чітко кількісно визначений шлях: всмоктування з кишківника в плазму, розподіл по відділах тіла, метаболізм (переважно в печінці) та виведення (переважно нирками). Цей процес ADME керується диференціальними рівняннями першого порядку, які повинен розуміти кожен фармаколог і розробник ліків.

Одновідсічна модель (внутрішньовенний болюс):
  dC/dt = -k_e · C
  C(t) = C₀ · e^{-k_e·t}
  Період напіввиведення: t₁/₂ = ln(2)/k_e = 0.693/k_e

Двовідсічна модель:
  dC_p/dt = -(k_e + k_pt)·C_p + k_tp·C_t + F·D(t)/V_p
  dC_t/dt =   k_pt·C_p - k_tp·C_t

  C_p = концентрація в плазмі
  C_t = концентрація в тканині
  k_pt = розподіл у тканину, k_tp = перерозподіл
  F = біодоступність (пероральна: F < 1)

Ключові параметри:
  V_d = об'єм розподілу = доза / C₀
  CL = кліренс = k_e · V_d  [л/год]
  AUC = ∫₀^∞ C(t)dt = доза·F / CL
  Усталений стан (багаторазові дози):
    C_ss = F·доза / (CL·τ)     τ = інтервал дозування

Терапевтичне вікно:
  MEC (мін. ефективна) < C_ss < MTC (мін. токсична)
  Проєктування схеми дозування для утримання в межах вікна

Симуляція фармакокінетики реалізує двовідсічну модель із налаштовуваними початковою дозою, біодоступністю, швидкостями кліренсу та об'ємом розподілу. Оберіть схему дозування — одноразовий внутрішньовенний болюс, повторні пероральні дози чи інфузію — і спостерігайте, як еволюціонує крива концентрації в плазмі. Накладення терапевтичного вікна одразу показує, чи обрана схема утримує пацієнта в зоні ефективності, чи виходить у токсичність.

Шар 6: планетарна хімія — вуглецевий цикл

Симуляція вуглецевого циклу

Глобальний вуглецевий цикл — це хімія в планетарному масштабі: атоми вуглецю течуть між атмосферою, океаном, наземною біосферою та геологічними резервуарами в часових масштабах від секунд (фотосинтез) до мільйонів років (утворення карбонатних порід). Математика цих потоків — по суті, велетенська система диференціальних рівнянь першого порядку з нелінійними зворотними зв'язками — визначає атмосферний CO₂ і, відповідно, глобальну температуру.

Чотири основні резервуари (ГтВ):
  Атмосфера:  ~870  (зростає на ~5 ГтВ/рік)
  Наземна біосфера: ~2600  (ЧПП ≈ 120 ГтВ/рік)
  Поверхня океану:  ~900  (обмін ~90 ГтВ/рік)
  Глибокий океан: ~37 000

Зв'язок з океанічною хімією:
  CO₂(г) ⇌ CO₂(водн) → H₂CO₃ → H⁺ + HCO₃⁻ → H⁺ + CO₃²⁻
  pCO₂ = α · [CO₂(водн)]     закон Генрі
  pH = -log[H⁺]           Закислення океану: ΔpH = -0.1 з 1750 року

Блокова модель (спрощено):
  dC_атм/dt = E_викопне + E_землекористування - F_суша - F_океан
  dC_океан/dt = F_океан - F_карбонат - F_експорт
  E_викопне ≈ 10 ГтВ/рік  (2020-ті)
  Атмосферна частка: ~44% викидів залишаються в атмосфері

Температурний зворотний зв'язок:
  ΔT = λ · ΔF = λ · 3.7 · ln(CO₂/CO₂_0)  (радіаційне вимушування у Вт/м²)
  λ ≈ 0.8 К/(Вт/м²)   (рівноважна кліматична чутливість)

Симуляція вуглецевого циклу анімує потоки вуглецю між резервуарами атмосфери, суші та океану в реальному часі. Збільшуйте викиди викопного палива, викликайте вирубку лісів або стимулюйте залізне добриво океану — і спостерігайте, як накопичується CO₂ і зростає температура у відповідь. Паралельно працює графік закислення океану, показуючи, як карбонатна хімія обмежує буферну ємність океану протягом десятиліть.

Повна хімічна колекція

Зв'язки з іншими колекціями

Хімія поєднує майже кожну іншу категорію на платформі. Закон швидкості Арреніуса, що керує ланцюговим розгалуженням горіння — та сама експонента, що й у симуляції Максвелла-Больцмана, яка пояснює, чому гарячі молекули газу реагують швидше: обидва — фактори Больцмана. Механізм утворення реакційно-дифузійних візерунків знову з'являється в симуляції клітинних автоматів — Грей-Скотт і правило клітинного автомата активатор-інгібітор мають однакову математичну структуру. Фармакокінетика — пряме застосування методів диференціальних рівнянь, розглянутих у Навчанні №16 (Диференціальні рівняння в біології), а блокова модель вуглецевого циклу використовує точно той самий відсічний підхід. Ріст кристалів через DLA пов'язаний із фрактальною геометрією в Spotlight №15 (Хаос) — обидва породжують структури з нецілими фрактальними розмірностями.

Алгоритми та методи в цій колекції