Дивись, як ростуть кристали методом дифузійно-обмеженої агрегації (DLA) — фракталом, що моделює сніжинки, блискавки та мінеральні відклади.
Частинки здійснюють випадкові блукання. Торкнувшись кристала, що росте, вони прилипають до нього назавжди. Фрактальна гіллясть структура відображає реальне дендритне зростання кристалів.
Натисни «Старт» для початку росту. Регулюй швидкість частинок і рівень емісії. Кліки додають нові зародки, з яких проростають нові гілки.
Та сама математика DLA, що описує ріст кристалів, також пояснює форму блискавок, дельт річок, коралових рифів і навіть гілляства нейронів у мозку.
Ця симуляція вирощує тривимірний фрактальний кристал за допомогою агрегації, обмеженої дифузією (DLA). Частинки, випущені далеко від кластера, виконують випадкове блукання на ґратці, і щоразу, коли одна з них опиняється поруч із наявним агрегатом, вона прилипає з імовірністю, заданою регулятором клейкості. Оскільки кінчики гілок перехоплюють блукаючі частинки раніше, ніж ті встигають дістатися до внутрішньої частини, кластер набуває екранованої, дендритної, самоподібної форми, характерної для сніжинок, мінеральних відкладень та електроосаджень.
Зародок розташований у початку координат, а блукачі з'являються на сфері заданого радіуса блукання. Щокадру вони перестрибують на випадковий сусідній вузол ґратки; торкнувшись агрегату, вони приєднуються з імовірністю, що дорівнює значенню клейкості. Ґратка (кубічна з 6 сусідами, гексагональна або ГЦК з 12 сусідами) задає геометрію зв'язків, а кожна нова частинка забарвлюється за глибиною свого шару від зародка — від темно-фіолетового через блакитний до майже білого кінчика.
Модель керується чотирма повзунками: Клейкість (0.1-1) — це імовірність прикріплення, Радіус блукання (5-40) задає сферу появи, Розмір партії (1-30) — це скільки блукачів залишаються активними, а Розмір частинки (0.2-1.2) масштабує сфери. Кнопки Кубічна, Гексагональна та ГЦК перемикають тип ґратки, Перезапуск створює новий зародок, а ви тягнете для обертання та прокручуєте для масштабування виду з автообертанням.
Класичні двовимірні DLA-кластери мають фрактальну розмірність близько 1.71, тобто вони заповнюють простір набагато менш щільно, ніж суцільний диск. Модель, запропонована Віттеном і Сандером у 1981 році, описує ріст усюди, де перенесення обмежене дифузією, зокрема блискавки, річкові дельти та бактеріальні колонії.
DLA — це процес росту, у якому частинки блукають випадково й необоротно прилипають при контакті зі зростаючим кластером. Оскільки нові частинки набагато ймовірніше влучають у відкриті кінчики, ніж дифундують углиб структури, кластер виростає в розгалужену, пористу, фрактальну форму, а не в компактне тіло.
Зародок розміщується в початку координат, а блукачі з'являються на сфері радіуса блукання. На кожному кроці вони переміщуються на випадковий сусідній вузол ґратки; коли блукач опиняється поруч із агрегатом, він приєднується з імовірністю клейкості, інакше продовжує блукати й відкидається, якщо відходить надто далеко. Процес повторюється до межі приблизно 2000 частинок.
Клейкість — це імовірність того, що блукач зв'яжеться, торкнувшись кластера: нижчі значення дозволяють частинкам ковзати навколо кінчиків перед прилипанням, утворюючи щільніші, округліші форми, тоді як вищі значення рано фіксують гілки для тоншого, голчастого росту. Кнопки ґратки змінюють, які сусіди вважаються контактами: кубічна дає шість напрямків, гексагональна — десять, а ГЦК — дванадцять, змінюючи симетрію кристала.
Це радше якісно достовірна карикатура, ніж кількісна. Реальні кристали також залучають поверхневу енергію, температурні градієнти та відрив, жоден з яких тут не змодельований. Проте DLA вловлює суть фізики дендритного росту, обмеженого перенесенням, саме тому її розгалужені візерунки нагадують справжні мінеральні та електрохімічні відкладення.
Причина — геометричне екранування. Виступаючі кінчики тягнуться в навколишній простір і захоплюють дифундуючі частинки раніше, ніж ті встигають дістатися до захищених внутрішніх западин. Цей позитивний зворотний зв'язок підсилює будь-який маленький горбок до гілки, залишаючи внутрішні області збідненими й утворюючи відкритий, самоподібний фрактал, який видно на екрані.