Симулятор кочення, що влаштовує перегони суцільної кулі, суцільного циліндра та тонкого обода однакової маси й однакового зовнішнього радіуса по одній похилій площині — усі котяться без ковзання. Прискорення кожного тіла вздовж схилу дорівнює a = g·sinθ / (1 + I/(mr²)), тож куля (I = 2/5 mr²) прискорюється з 5/7 g sinθ, циліндр (I = 1/2 mr²) — з 2/3 g sinθ, а обід (I = mr²) — лише з 1/2 g sinθ. Маса й радіус повністю скорочуються — куля завжди фінішує першою, циліндр другим, а обід останнім, і виключно через те, як кожна форма розподіляє свою масу відносно осі обертання. Змінюйте кут і довжину нахилу, спостерігайте за прискоренням, швидкістю та часом фінішу в реальному часі й запускайте перегони заново в будь-який момент.
Результат залежить лише від форми (моменту інерції). Маса та радіус ніколи не змінюють переможця.
Коли куля, циліндр та обід однакової маси й однакового зовнішнього радіуса відпускають одночасно на вершині похилої площини, і вони котяться без ковзання, гравітація надає кожному з них однакову потенціальну енергію на метр спуску, ΔPE = mgh. Ця енергія має "оплатити" два види руху одночасно: поступальний рух центру мас (½mv²) та обертання навколо центру (½Iω²). Оскільки кочення без ковзання пов'язує обидва рухи через ω = v/r, частка енергетичного бюджету, що витрачається на обертання, залежить лише від того, як розподілена маса тіла відносно його радіуса — тобто від моменту інерції, I. Суцільна куля (I = ⅖mr²) утримує більшу частину маси близько до осі обертання, тому обертати її "дешево", і більшість доступної енергії перетворюється на швидкість поступального руху. Тонкий обід (I = mr²) несе всю свою масу на ободі, тому розкрутити його "дорого" — залишається менше енергії, а отже, й менше прискорення для поступального руху.
Розв'язання другого закону Ньютона для тіла, що котиться без ковзання по похилій площині з кутом θ, дає напрочуд простий результат: a = g sinθ / (1 + I/(mr²)). І m, і r повністю скорочуються, тож куля розміром із кулю для боулінгу та куля розміром з кульку досягають низу за однаковий час, так само як легкий і важкий циліндри. Значення має лише безрозмірний коефіцієнт форми I/(mr²): 2/5 для суцільної кулі, 1/2 для суцільного циліндра чи диска та 1 для тонкого обода чи кільця. Підставивши ці значення, отримуємо прискорення кулі (5/7)g sinθ, циліндра (2/3)g sinθ, а обода — лише (1/2)g sinθ: куля перша, циліндр другий, обід завжди останній, незалежно від кута нахилу, маси чи розміру. Це одна з найнадійніших і найвідтворюваніших демонстрацій на вступному курсі механіки.
Що саме показує ця симуляція?
Вона влаштовує перегони суцільної кулі, суцільного циліндра та тонкого обода — всі однакової маси й зовнішнього радіуса — по одній похилій площині, кочення без ковзання. Прискорення кожного тіла залежить лише від коефіцієнта форми (моменту інерції), тож куля завжди досягає низу першою, циліндр другим, а обід останнім, незалежно від обраного кута нахилу.
Чи впливають маса або радіус тіл на те, хто переможе?
Ні. Формула прискорення a = g sinθ / (1 + I/(mr²)) містить масу й радіус у квадраті всередині члена моменту інерції I/(mr²), а для будь-якої однорідної кулі, циліндра чи обода це співвідношення є фіксованим числом — 2/5, 1/2 або 1 — незалежно від розміру чи маси. Кулька для боулінгу та куля розміром із тенісний м'яч тієї самої форми фінішують за абсолютно однаковий час; лише розподіл маси відносно радіуса, тобто форма, визначає переможця перегонів.
Яка різниця між коченням без ковзання та ковзанням?
Кочення без ковзання означає, що точка контакту об'єкта з похилою площиною миттєво перебуває у стані спокою, пов'язана обмеженням v = ωr, а статичне тертя забезпечує момент сили, необхідний для розкручування об'єкта без втрати енергії. Натомість чисте ковзання супроводжується кінетичним тертям, що діє на рухому контактну пляму, розсіюючи енергію у вигляді тепла. Ця симуляція припускає ідеальне кочення — тертя, достатнього для запобігання ковзанню, але яке не виконує чистої роботи — стандартну ідеалізацію, що застосовується у вступній механіці.
Тому що маса обода зосереджена цілком на ободі (I = mr²), далеко від осі обертання, тож значна частина вивільненої гравітаційної потенціальної енергії має піти на розкручування, а не на рух вперед. Маса кулі розподілена ближче до її центру (I = ⅖mr²), тому вона "неохоче" обертається, і більша частина того самого енергетичного бюджету перетворюється на поступальну швидкість. Однакова маса не означає однаковий момент інерції — форма і розподіл маси є визначальними.
Симуляція припускає, що статичного тертя рівно достатньо для забезпечення кочення без ковзання, але це тертя не виконує роботи, оскільки точка контакту не має відносної швидкості ковзання. У цій ідеалізації величина сили тертя автоматично підлаштовується так, щоб виконувалося обмеження кочення, тож воно ніколи явно не з'являється у формулі прискорення — лише співвідношення моменту інерції. Реальна похила площина потребувала б мінімального коефіцієнта тертя, щоб уникнути ковзання, але цей поріг не змінює швидкість кочення тіл, коли кочення вже гарантоване.
Тонкостінна порожниста куля має I = ⅔mr², більше ніж ⅖mr² суцільної кулі, оскільки її маса розташована ближче до поверхні. Її прискорення дорівнювало б a = g sinθ / (1 + 2/3) = (3/5)g sinθ — повільніше за суцільну кулю, але все ще швидше за суцільний циліндр (2/3)g sinθ. Вона фінішувала б між кулею та циліндром у цих перегонах.
Вона ігнорує опір коченню від деформації поверхні, опір повітря, будь-яке коливання, якщо об'єкти не є ідеально жорсткими або похила площина не ідеально гладка, а також короткий перехідний період при відпусканні, поки тертя наростає до встановлення кочення. Вона також припускає, що кожне тіло є ідеально однорідним за густиною, а похила площина — жорсткою та прямою по всій довжині.
Повзунок кута нахилу (від 5° до 60°) задає θ, яка масштабує прискорення кожного тіла через g sinθ — крутіші схили роблять усіх швидшими, але ніколи не змінюють порядок фінішу. Повзунок довжини схилу (від 2 м до 8 м) задає відстань, яку має пройти кожне тіло, змінюючи загальний час перегонів, не впливаючи на переможця. Кнопка "Старт / Скидання" перезапускає всі три тіла з вершини одночасно, щоб ви могли повторити порівняння.
Та ж сама залежність прискорення кочення від форми пояснює, чому суцільна гумова куля обганяє порожнисту кулю чи велосипедне колесо на рампі, чому інженери зважають на момент інерції колеса при проєктуванні транспортних засобів для прискорення, і чому маховики — по суті товсті обода — навмисно використовуються для накопичення обертальної енергії, а не для швидкого поступального руху. Це залишається класичною демонстрацією на фізичних лекціях для введення поняття моменту інерції та обертальної кінетичної енергії.