Функція Вігнера: Коли Квантова Ймовірність Стає Від’ємною

Фазовий простір: класично та квантово

У класичній механіці стан частинки — це єдина крапка на графік фазового простору, що показує положення x проти імпульсу p. Набір частинок має вигляд ймовірнісної хмари, яку можна було б теоретично сфотографувати точно, оскільки x та p можуть бути виміряні одночасно з достатньою точністю. Квантова механіка забороняє це: принцип невизначеності Гейзенберга не дозволяє стану займати будь-яку точку, або навіть дуже маленьку крапку, в фазовому просторі. Едвін Вігнер поставив питання у 1932 році, чи можна врятувати фазовий простір, і відповідь, яку він знайшов – функція Вігнера W(x,p) – є найближчим аналогом спільної ймовірнісної розподілу положення та імпульсу, який має квантова теорія.

Вибудовування W(x,p): перетворення Віґера

Перетворення Віґєра будується з хвильової функції ψ(x) шляхом кореляції її з відображеним, зміщеним копією та застосування до нього швидкого перетворення Фуріє: W(x,p) = (1 / πħ) ∫ ψ*(x + y) ψ(x - y) e^(2ipy/ħ) dy

Marginals відновлюють звичайні ймовірності: ∫ W(x,p) dp = |ψ(x)|² (ймовірність площі розташування) ∫ W(x,p) dx = |φ(p)|² (ймовірність площі імпульсу) Ці marginals є точно звичайними квантовими ймовірностями, що робить W(x,p) корисним, а не дивом: інтегруйте імпульс виразом, щоб отримати звичайний розподіл позиції, інтегруйте позицію виразом, щоб отримати звичайний розподіл імпульсу. Перехоплення - це об'єкт спільно; справжня щільність ймовірностей ніколи не може бути від’ємною будь-де; W(x,p) може опускатися нижче нуля. Це реальне значення, правильно нормалізоване та правильно обмежене - воно просто не є розподілом ймовірностей у класичному сенсі, тому поле називає його квазірозподілом ймовірностей.

W(x,p) = (1 / πħ) ∫ ψ*(x + y) ψ(x - y) e^(2ipy/ħ) dy

marginals recover ordinary probabilities:
  ∫ W(x,p) dp = |ψ(x)|²      (position probability density)
  ∫ W(x,p) dx = |φ(p)|²      (momentum probability density)

Чотири стани, чотири картини

Пустотний стан - відсутність фотонів, гармонійна хвиля з нульовим енергетичним рівнем - має функцію Wigner'а у вигляді одного Гауссового пазу, розташованого в центрі та завжди невід’ємної. Когерентний стан (найближчий квантовий оберіг до "класичного" світла, наприклад, ідеальний лазерний промінь) - це той самий Гауссовий пазу, просто зміщений від початку координат; коли стан розвивається, він обертається навколо початку координат як класична точка у фазовому просторі, лише розмита мінімальною невизначеністю, яку представляє ширина Гаусса.

Fock state |n⟩ - точний підрахунок n фотонів, без якого немає класичного аналогу - виглядає зовсім інакше: кільцеподібна структура, побудована на основі Лагеррово многочлена, і для n ≥ 1 він опускається в негативне значення в центрі. Стан Шредінгера кота, рівночасова суперпозиція двох добре розділених когерентних станів, показує дві Гауссові пазу плюс хвильовий патерн з перешкод, розташований між ними - і ці хвилі різко опускаються в негатив. Фризи не є декорацією; це прямий фазовий простір підпис квантової суперпозиції, той самий інтерференційний патерн, який ви побачите на екрані подвійного променя, перекладений у цю систему координат.

Чому негативність має значення

Теоріма Гудсона точно це визначає: чистий квантовий стан має невід’ємну функцію Вігнера всюди, лише якщо він є Гаусовим. Вакуумні та узгоджені стани є Гаусовими і поводяться так, як слід. Будь-який інший чистий негаусовський стан – це стани Фока, стани кота або будь-який стан з доданим або віднятим фотоном – повинен мати певний регіон із негативною функцією Вігнера. Таким чином, негативність розглядається в квантовооптичних та квантових обчислювальних спільнотах як ресурс: це необхідний інгредієнт для широкого класу квантових переваг, включаючи універсальні безперервні змінні квантові обчислення, і її об’єм (інтеграл |W| мінус 1) використовується як кількісна міра того, наскільки «некласичним» є стан.

Читання його з теплової карти та як це насправді вимірюється

Ви не можете одночасно виміряти x і p для безпосереднього побудови W(x,p) - це порушить той самий принцип невизначеності, який поєднує функцію. Два методи обходять це. Оптичне гомодинне томографія вимірює квадрувати (обернену комбінацію x і p) під різними фазами та відновлює W за допомогою інверсної Radon-трансформації, тієї ж математики, що використовується в CT-скануванні. Прямий метод (Banaszek та Wódkiewicz) використовує той факт, що значення W(0,0) на початку простору фаз є, до константи, точно очікуване значення оператора парності кількості фотонів - вимірюйте, чи є кількість фотонів навіть чи непарна, і у вас є одна точка W безкоштовно, без необхідності реконструювати томографію. Зсуваючи стан перед вимірюванням парності, він зразкує W відносно початку, точку за точкою. На тепловій карті стандартні масштаби кольорів, що відхиляються від синього до червоного, використовуються точно так, щоб негативний спад читався миттєво як інша сімейна група кольорів, ніж позитивна горб біля нього - найінформативніший спосіб показати, що стан покинув класичний світ.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Wigner Function і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.