Інтерференція Хвильових Пакетів: Зіткнення Квантових Амплітуд у Коробці

Interference of Waves

Waves can interfere constructively or destructively. Constructive interference occurs when two or more waves overlap in phase, resulting in a larger amplitude wave. Destructive interference occurs when two or more waves overlap out of phase, canceling each other out. This phenomenon is observed in various contexts, including light and sound.

ψ(x, 0) = (2πσ²)^(−1/4) · exp(−(x−x₀)² / 4σ²) · exp(i k₀ x)

σ  = initial spatial width
k₀ = central wavenumber (momentum p₀ = ℏk₀)

Wave propagation in free space

The motion of a quantum particle in free space is governed by the Schrödinger equation. The wave function, ψ(x,t), describes the probability amplitude of finding the particle at position x and time t. The equation is expressed as iħ∂ψ/∂t = - (ħ²/2m) ∂²ψ/∂x², where ħ is the reduced Planck constant and m is the mass of the particle.

This equation dictates that the wave function evolves in time, spreading out from its initial position due to dispersion. Dispersion arises because different momentum components within the wave packet travel at slightly different speeds (phase velocities). This difference in velocity causes the wave packet to expand over time, even in a vacuum, as each component propagates outwards.

This expansion is not due to friction or any dissipative forces; it’s an inherent property of quantum mechanics. The initial wave packet, a superposition of many momentum states, evolves into a broader distribution of momenta as its components propagate independently.

Метод розриву оператора: як симуляція фактично рухається вперед

Рівняння Шредінгера змішує термін, який є найпростішим у просторовому просторі (потенціальна енергія) з терміном, який є найпростішим у просторі імпульсу (кінетична енергія, друга похідна), і жоден із них не обробляє обидва безпосередньо. Стандартний числовий трюк, метод розриву оператора (або split-step Fourier), застосовує кожну половину оператора еволюції, де це дешево, і перемикається між представленнями з використанням Швидкої Перетворення Фур'є посереди:

ψ(x, t+dt) = exp(−iV(x)dt/2ℏ) · IFFT[ exp(−iℏk²dt/2m) · FFT[ exp(−iV(x)dt/2ℏ) · ψ(x,t) ]] 1. половий крок потенціального удару у просторовому просторі (просте множення по точках) 2. ШПФ у простір імпульсу 3. повний крок кінетичної еволюції в просторі імпульсу (ще одне множення по точках — точний, а не приблизний) 4. IFFT назад до просторового простору 5. половий крок потенціального удару у просторовому просторі Розділення удару потенціалу на два половини навколо одного повного кінетичного кроку (симетричне, другий порядок Strang splitting) робить схему точною до O(dt³) на крок, а не O(dt²), що є значним прибутком за ту ж обчислювальну вартість, і тому що термін кінетики застосовується точно у просторі імпульсу, а не різницею кінцевих значень, цей метод краще зберігає ймовірність (загальну |ψ|²) ніж наївна схема різниці кінцевих значень за тієї ж величини кроку.

ψ(x, t+dt) = exp(−iV(x)dt/2ℏ) · IFFT[ exp(−iℏk²dt/2m) · FFT[ exp(−iV(x)dt/2ℏ) · ψ(x,t) ] ]

1. half-step potential kick in position space   (a simple pointwise multiply)
2. FFT to momentum space
3. full-step kinetic evolution in momentum space (another pointwise multiply — exact, not approximate)
4. IFFT back to position space
5. half-step potential kick in position space

Interference when two packets meet

When two wave packets with different central momenta k₁ and k₂ overlap in the same region of the box, the total wavefunction is their sum, and the probability density |ψ₁+ψ₂|² is not simply the sum of the two individual densities — it contains a cross term 2·Re(ψ₁*ψ₂) that oscillates in space at a spatial frequency set by the momentum difference k₁ − k₂, producing visible interference fringes exactly like the classic double-slit pattern, except here the two "sources" are two localized wave packets rather than two slits. Where the fringe pattern is constructive the combined probability of finding the particle is enhanced above what either packet alone predicts; where it is destructive, it is suppressed — a direct, visual demonstration that quantum probability amplitudes interfere while classical probabilities simply add.

Beating and revival in a bounded box

Confined to a finite 1-D box, the exact energy eigenstates are discrete standing waves, and any wave packet is really a superposition of a finite comb of these discrete energy levels.

Two dominant components with close but unequal energies E₁, E₂ produce quantum beating — a slow oscillation of the packet's shape or position at frequency |E₁−E₂|/ℏ, directly analogous to the beat frequency you hear from two slightly detuned musical notes.

Because the box's energy levels are discrete (unlike the continuous spectrum of a free particle), the packet's spreading is not permanent: at long enough times the various phase relationships between energy components can realign closely enough to reconstruct something close to the original localized shape, a striking phenomenon called wave packet revival, first predicted theoretically and later observed directly in Rydberg atom experiments.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Wave Packet Interference і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.