Воро́нєві плями: перетворення яскравості на поле крапок

Претворення яскравості в щільність точок

Стіплінг – рендеринг зображення як поле окремих крапок – є традицією протягом століть у друку та ілюстрації: щільно пакуйте точки в темних областях, розсіюйте їх у світлих областях, і око конструює безперервний тон з чистої щільності. Зважений стіплінг Voronoi, представлений Адріаном Серкордом у 2002 році, автоматизує це, перетворюючи його на задачу оптимізації точок: враховуючи цільове зображення та бажану кількість точок N, розташуйте N точок так, щоб їх локальна щільність відповідала яскравості зображення всюди – щільно там, де зображення темне, рідко там, де воно світле (або навпаки, для естетики світло-темного).

Вино́рні діаграми: наданню кожній точці власної території

Віно́рна діаграма розділяє площину на області, одна на точку, де будь-яка точка в заданій області ближча до цієї точки, ніж до будь-якої іншої точки — уявіть кожну точку як магазин і кожну область як територію ближче до цього магазину, ніж до будь-якого конкурента. Після того, як у вас є набір розкиданих точок, обчислення їх вино́рної діаграми є добре відомою геометричною конструкцією (алгоритм Fortune's sweep-line будує її за O(n log n)); цікава частина не сама діаграма, а алгоритм, який вирішує, де розміщувати точки в перше місце.

Ллойдский релаксация: перемещайте каждую точку к центру масс её ячейки

Ллойдский алгоритм (1957 года, изначально разработан для квантизации сигналов, независимо переоткрывался многократно с тех пор) — это итеративный цикл, который производит равномерное, органично выглядящее расположение точек. Начиная от случайного рассеяния точек:

повторяйте до сходимости: вычислите диаграмму Вороного для текущего набора точек для каждой точки p найдите центр масс её ячейки Вороного (взвешенное по локальной темноте изображения, а не просто площади) переместите p в направлении этого взвешенного центра # центр масс ячейки тянет точку к тому месту, где сосредоточена «масса» внутри этой ячейки Взвешивание связано с исходным изображением: вместо вычисления геометрического центра каждой ячейки, каждый пиксель внутри ячейки вносит вклад в центр в соответствии со своей темнотой (или, точнее, 1 минус яркость, так что черные пиксели учитываются полностью, а белые — нисколько). Точка, находящаяся в ячейке Вороного, пересекающей темную область, тянется к темной стороне своей ячейки; при повторных итерациях этот эффект растяжения накапливается, заставляя точки перемещаться из светлых областей в темные, разрежая области, где изображение светлое, и формируя области, где изображение темное — точно та плотность, которая нужна для создания точек.

repeat until converged:
    compute the Voronoi diagram of the current points
    for each point p, find the centroid of its Voronoi cell
        (weighted by local image darkness, not plain area)
    move p toward that weighted centroid
# a cell's centroid pulls its point toward where the "mass" inside that cell is concentrated

Чому розслаблення робить візерунок органічним, а не сітковим

Випадкове розміщення N точок, зважених за яскравістю, призведе до правильно зваженого, але візуально шумного, грудочкового результату — деякі області випадково отримають занадто багато точок близько одна до одної, а інші — занадто мало, лише через випадковість. Алгоритм Ллойда полегшує це, оскільки зведений до ладу діаграма Вороного має конкретну, доведену властивість регулярності: сусідні клітини схиляються до приблизно рівної площі (враховуючи вагу щільності), що змушує точки наближатися до приблизно рівномірного простору в межах будь-якої області відносно постійної яскравості. Результат читається як органічно рівномірно розподілений — подібно до візуальної регулярності шестигранної упаковки, але трохи збуджений основною варіацією щільності, щоб все ще виглядати природно, а не механічно сітковим. Зазвичай достатньо кількох ітерацій (10-30), щоб помітно заспокоїтися; більше ітерацій дає незначну користь, оскільки точки наближаються до фіксованої точки процесу розслаблення.

Вибір функції щільності

У алгоритмі нічого не вимагає від полів ваги надходження з фотографії. Забезпечення його математичною функцією замість цього — спіралею, набором концентричних хвиль, полем уникнення часу Мадленброта або щільністю імітованого кластерів зірок — дає той самий організований пакування точок, керований власними піками та западинами цієї функції, а не темрявою зображення, тому ця техніка також служить генеральним мистецьким інструментом: візуальна сигнатура розслаблення Ллойда (локально однорідне, глобально щільність-відповідне пакування) однакова незалежно від того, чи походить щільність з фотографії чи з рівняння.

Вартість та збіжність на практиці

Кожна ітерація потребує повного перерахування діаграми Вороної (O(n log n) за допомогою правильного алгоритму sweep-line, хоча багато практичних реалізацій приблизно це роблять швидше шляхом растрової обробки піксельної сітки з безпосереднього визначення карти найближчих точок), плюс один прохід з урахуванням зважених центроїдів на клітинку, O(пікселів) в цілому за ітерацію, оскільки кожен піксель відвідується один раз для накопичення в його власну клітинку. Для інтерактивних канв, що містять кілька тисяч точок, обчислення приблизної діаграми Вороної на сітці та виконуване кожного кадру є досить дешевим, щоб дозволити її підтримувати живо у браузері, що і дозволяє демо стіплера візуально анімувати переміщення та встановлення точок в реальному часі, а не лише показувати один кінцевий кадр.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Stippling & Pointillism і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.