Сихороз синхронізації Ван дер Поля: Як дві годинники вчаться битися разом

Система, що саморегулює свою амплітуду

Рівняння Ван дер Поля було написане у 1920-х роках Бальшазером ван дер Полем для опису вакуумних ламп, і це стандартна модель самостійного осцилятора — система, яка стабільно утримує постійну амплітуду, не потребуючи зовнішнього впливу чи просто розвалюючись:

ẍ − μ(1 − x²)ẋ + x = 0 μ > 0 контролює як nonlinearity та наскільки цикл стає схожим на релаксацію Уважно розгляньте коефіцієнт гальмування μ(1 − x²)ẋ: коли |x| мале (всередині одиничного кола у фазовому просторі), термін (1 − x²) позитивний, тому "гальмування" насправді є негативним — воно вкачує енергію та амплітуда зростає. Коли |x| перевищує 1, знак змінюється і енергія видаляється, зменшуючи амплітуду. Таким чином, система з будь-якого початкового стану сходиться до одного конкретного замкненого траєкторії у фазовому просторі, що називається лімітним циклом — не математична ідеалізація, а хайзер, в який спіраються та залишаються близькі траєкторії.

ẍ − μ(1 − x²)ẋ + x = 0

μ  > 0  controls both the nonlinearity and how relaxation-like the cycle becomes

Зв’язок двох: проблема залучення

Один Van der Pol осцилятор має власну природну частоту, яка в основному визначається лінійною силою відновлення. Зв’яжіть два такого осцилятора – наприклад, дозволяючи кожному осцилятору мати термін пропорційний швидкості або положенню іншого осцилятора – і ритм кожного з них буде під впливом іншого:

ẍ₁ − μ(1 − x₁²)ẋ₁ + ω₁²x₁ = k(x₂ − x₁) ẍ₂ − μ(1 − x₂²)ẋ₂ + ω₂²x₂ = k(x₁ − x₂) k – сила зв’язку, ω₁ ≠ ω₂ – дві природні (незв’язані) частоти Коли k = 0, два осцилятори працюють на власних незалежних частотах і постійно віддаляються та зближуються один з одним. Коли k збільшується, відбувається щось суттєво інше, коли він перетинає поріг: дві частоти «зламуються» разом і блокуються – явище, яке називається залученням або блокуванням частот, вперше задокументоване Крістіаном Гюйгенсом у 1665 році, який помітив, що дві годинники з петельним маятником, підвішені на одній стіні, спонтанно синхронізують свої коливання через вібрації, які передаються по стіні.

ẍ₁ − μ(1 − x₁²)ẋ₁ + ω₁²x₁ = k(x₂ − x₁)
ẍ₂ − μ(1 − x₂²)ẋ₂ + ω₂²x₂ = k(x₁ − x₂)

k = coupling strength,  ω₁ ≠ ω₂ = the two natural (uncoupled) frequencies

Арнольдове язичарство та фазова блокування

Для періодычна падрыхванага або спаянага нелінейнага осцилятора блокуювання не відбувається лише за співвідношенням 1:1. Побудова простору параметрів (сила спаювання, відхилення) де відбувається блокування дає сегментовані області, звані язичниками Арнольда, кожна з яких закріплена за раціональним співвідношенням частот p:q — осцилятор може заблокуватися так, щоб він завершував p циклів на кожні q циклів іншого. Язичники розширюються зі збільшенням спаювання, тому слабко спаяні, невідповідні осцилятори блокуються лише біля точних раціональних співвідношень, тоді як сильно спаяні — у широкому діапазоні відхилень. Між язичниками, при слабкому спаюванні, відносний фазний зсув повільно змінюється — режим, який називається фазовим зміщенням або, коли зміщення тимчасово зупиняється біля-але-не-заблоковано, фазове ковзання.

Чому це стандартна модель для серцевого ритму

Форма розслаблення-осцилятора рівняння Ван дер Поля — повільна фаза зарядки, за якою слідує швидкий, імпульсний викид, коли μ стає великою — тісно відповідає формі справжнього дії потенціалу, тому закопсовані Van der Pol (і тісно пов'язані FitzHugh-Nagumo) осцилятори є стандартною моделлю для того, як природні серцеві ритми постачаються в такт. Сіноатріальний вузол — домінуючий серцевий ритм, але насправді це популяція тисяч окремих серцевих ритмів, кожен з яких має трохи різну внутрішню швидкість, які повинні синхронізуватися один з одним, щоб створити єдиний серцевий удар, і це в свою чергу синхронізує підлеглі серцеві ритми (наприклад, атріально-джереслений вузол) у співвідношенні 1:1 за здорових умов. Серцеві аритмії, включаючи певні форми AV блоку, природним чином описуються як система падає в іншу мову Арнольда — стабільну p:q заблокованість від 1:1 — або втрачає заблокованість і переходить у стан хаотичного руху.

Читання демонстрації

Симуляція інтегрує рівняння обох осциляторів із використанням явного чисельного методу та відображає їх траєкторії фазового простору разом з різницею фаз між ними. При низькому зв’язку два обмеження обертаються з помітно різними швидкостями, а їх відносна фаза плавно змінюється по всіх значеннях. Підніміть повзунок зв’язку за межами порогу блокування, і різниця фаз припинить зміни — обидва траєкторії обертаються разом, зміщені на фіксований кут, що відповідає переходу, який спочатку спостерігав Гюйгенс між двома годинниками на спільному стіні.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Van der Pol Synchronization і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.