Trojan Asteroids & Lagrange Points

П’ять парників у двотісному просторі

Додайте третє, незначне маси тіло до двотісної гравітаційної системи (наприклад, невеликий астероїд, що обертається разом із Сонцем і Юпітером), і обмежена задача трьох тіл має рівно п’ять точок рівноваги у спінному кадрі, де сукупна гравітація двох масивних тіл та центрифужна псевдосила спінного кадру скасовуються. Ейлер виявив три колінеарні точки L1, L2, L3 в 1760-х роках; Лагранж знайшов дві трикутні точки L4 і L5 в 1772 році — і саме L4 і L5 виявляються важливими для справжніх астероїдів, оскільки вони єдині, які достатньо стабільні, щоб утримати матеріал протягом віку Сонячної системи.

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Чому L4 і L5 стабільні, а L1–L3 – ні

L1, L2 і L3 розташовані на лінії, що з’єднує дві масивні тіла, і є садковими точками ефективного потенціалу — стабільні в одних напрямках, нестабільні в інших, тому об'єкт, розміщений там, з часом відхиляється без активного утримання (що саме пояснює необхідність періодичних коригувальних імпульсів для справжніх супутників L1/L2, таких як SOHO або JWST). L4 і L5 розташовані на 60° попереду та позаду меншого масивного тіла вздовж його орбіти, утворюючи рівносторонній трикутник з двома основними тілами, і Лагранж показав, що ця конфігурація динамічно стабільна за умови, що відношення мас між двома великими тілами перевищує приблизно 24,96 — комфортно задовольняється для Сонце-Юпітер (відношення ≈ 1047) і для Сонця-Землі, але не для будь-якої іншої пари бінарних систем.

L4, L5 stability condition (restricted 3-body problem):
  M1/M2  >  24.9599...   (Gascheau's/Routh's criterion)

Sun-Jupiter:  M_sun/M_jupiter ≈ 1047   →  stable, hosts real Trojans
Sun-Earth:    M_sun/M_earth   ≈ 333000 →  stable, hosts small dust/asteroid populations
Earth-Moon:   M_earth/M_moon  ≈ 81     →  stable, but no confirmed large trojan found there

Юпітерові троянські маси

Юпітер має L4 (який називають «грецьким табором», віддалений на 60° від Юпітера) і L5 (який називають «троянським табором», відстаючи на 60°) орбітальні точки Лагранжа. Кожна з цих точок містить тисячі відомих астероїдів, ймовірно, мільйони, що перевищують кілометр у розмірах, і загальна кількість яких порівнюється з кількістю основних астероїдів. Першим відкритим був 588 Акхіллес, знайдений Максом Волфом у 1906 році. Згодом було встановлено звичай назвувати астероїди «грецького табору» іменами героїв Іліади, а астероїди «троянського табору» — іменами героїв Троянської війни. Ця практика поклала початок терміну «троянський астероїд», який зараз використовується для позначення будь-якого об’єкта, що обертається навколо іншого тіла в точках L4 або L5 Лагранжа, включаючи підтверджені троянські астероїди Землі, Марса, Нептуна та Урану, а також клас об'єктів, які спільно обертаються з Землею.

Вібрація, а не фіксована точка

Майже жоден троянський астероїд не знаходиться точно у математичній точці L4/L5. Замість цього кожен з них вібрує – коливається у межах, часто у формі ниркоподібної або ляпас-подібної траєкторії навколо рівноважної точки протягом десятиліть чи століть, із амплітудою, встановленою спосіб його захоплення та подальші збурення. Більш амплітне вібрування може навіть слідувати за конхоїдними орбітами, які в обертовому кадрі здаються розвертатися повз L3 і петляти навколо як L4, так і L5 без завершення повного кола відносно планети – траєкторія, що реалізується в природі копланетарними супутниками Сатурна Іо та Епіметей, які періодично міняють орбіти.

Трояни як викопні рештки формування планети

Через те, що L4 і L5 динамічно стабільні протягом мільярдів років для співвідношення маси Сонця та Юпітера, вважається, що трояни — це популяція-реліквіт, або утворена локально під час формування Юпітера, або (відповідно до моделі Nice раннього сонячної системи щодо міграції) захоплена з набагато більшого діапазону початкових геліоцентричних відстаней під час періоду, коли орбіти гігантських планет змінювалися та тимчасово дестабілізували зовнішню сонячну систему. Місія NASA Lucy, запущена у 2021 році, є першою присвяченою місією з дослідження троянських астероїдів через 2020-і – 2030-ті роки, яка спеціально відвідуватиме кілька троянських астероїдів для перевірки того, які сценарії формування підтримують їхні поверхневі властивості та форми.

Часті запитання

Чому L4 та L5 стабільні, а L1, L2 та L3 ні?

L1, L2 та L3 лежать на лінії, що з’єднує дві масивні тіла, і є конічними точками ефективного потенціалу – стабільні в одних напрямках, але нестабільні в інших, тому об'єкти відхиляються без корекції. L4 та L5 утворюють рівносторонні трикутники з двома масивними тілами і є справді стабільними положеннями рівноваги, за умови, що відношення двох мас перевищує приблизно 25, що комфортно відповідає умовам, які виконуються Юпітером та Сонцем.

Чи сидять троянські астероїди точно у точках L4 та L5?

Майже ніколи. Більшість з них коливаються – прокладають обмежений, часто у формі «качкоголови» шлях навколо точки рівноваги протягом десятиліть чи століть. Деякі астероїди з великою амплітудою коливань слідують кілевидним орбітам, що петляють повз L3 та навколо як L4, так і L5 без завершення повного кола, цей малюнок також спостерігається у супутниках Сатурна Janus та Epimetheus.

Чи мають лише Юпітер троянські астероїди?

Ні – «Троян» тепер є загальним терміном для будь-якого невеликого тіла, що коливається навколо точки L4 або L5 іншого тіла. Підтверджені трояни існують для Землі, Марса, Нептуна та Урану, крім значно більших популяцій Юпітера на обох його L4 та L5, а також у супутників Сатурна Тетіс та Діоні є свої власні менші троянські супутники.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Trojan Asteroids і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію Trojan Asteroids

Троянські Астероїди: Чому L4 і L5 Захоплюють Каміння Назавжди