Тор і Генеус: Характеристика Ейлера Поверхностей

Обчислення об'єму поверхні за допомогою меші

Покрийте будь-яку замкнуту поверхню сіткою вершин, ребер і граней — триангуляцією або будь-якою полігональною сіткою — та порахуйте V, E і F. Комбінація χ = V - E + F є характеристикою Ейлера, і її значення не залежить від того, як ви розклали поверхню: груба сітка та дрібна сітка однієї й тієї ж сфери дають однакову χ. Це і є суть — χ є топологічною інваріантною, одним цілим числом, яке виживе будь-яку деформацію, яка не розриває або склеює поверхню.

cube (as a mesh):  V=8, E=12, F=6  →  χ = 8 - 12 + 6 = 2
any triangulated sphere            →  χ = 2   (always)
any triangulated torus             →  χ = 0   (always)

Вид: скільки ручок

Для замкнутої, орієнтованої поверхні, χ повністю визначається видимістю (геном) g — неформально, кількістю "ручок" або отворів через поверхню: χ = 2 - 2g. Сфера має видність 0 і χ = 2. Тор (дірка) має одну ручку, видність 1 і χ = 0. Подвійний тор (поверхня у формі восьмирічки, дві ручки) має видність 2 і χ = -2; потрійний тор має видність 3 і χ = -4. Кожен додатковий отвір, який ви додаєте, віднімає точно 2 від χ, незалежно від розміру, кривизни або того, наскільки нерівною виглядає поверхня.

Це пояснює, чому чашку з кавою та тор вважаються однаковою формою в топології — ручка чашки є одним отвором, точно як і у торту, тому безперервне деформування (розтягування, без розрізання або склеювання) може перетворити одне на інше. Сфера, навпаки, ніколи не може бути деформована в тор таким чином: жодна кількість стиснення не змінює χ з 2 до 0.

Гаусс- Бонн: кривизна и топология, связаны вместе

Теорема Гаусса-Бонна является дифференциально-геометрическим вариантом того же факта. Она гласит, что интеграл по всей поверхности от полного гауссовой кривизны K фиксируется топологией в одиночку:

∬_S K dA = 2π χ(S) Сфера (χ=2) должна иметь полный изгиб 4π независимо от того, как вы согнете или поднимете ее поверхность — сжатие и некоторые области становятся более плоскими, а другие — более резко изогнутыми, но интеграл остается 4π. Тор (χ=0) должен иметь точный нулевой общий изгиб: внешняя окантовка, которая искривляется как сфера (положительная гауссова кривизна), обязательно уравновешивается внутренней окантовкой возле отверстия, которая искривляется как седлообразная поверхность (отрицательная гауссова кривизна). Вы не можете построить тор, который был бы положительно изогнут повсюду — геометрия вынуждена иметь седловую область только благодаря топологии, прежде чем вы укажете какую-либо конкретную форму.

∬_S K dA = 2π χ(S)

Чому це узагальнює плоску 2D випадковість

Гаусс-Бонет є викривленою поверхнею узагальненням факту, який ви вже знаєте з плоского трикутника: сума його внутрішніх кутів дорівнює π (180°). На викривленій поверхні аналогічний твердження отримує поправний член, рівний закритій кривизні, і підсумовуючи цей поправний член по всій замкненій поверхні утворюється результат 2πχ. Це та сама ідея, яка робить політ з Лондона до Токіо коротшим по великій окружності, ніж по прямій лінії на плоскій карті — кривина змінює те, що "пряма" та "трикутник" означають локально, але глобальна топологічна сума залишається незмінною.

Обчислення

Зазвичай сітку тіла з певним генетисом (коло для тороїда, профіль подібний до восьмирічки для генетису 2 і вище) будують шляхом обертання двовимірної перерізної площини (кола для тороїда, восьмикутної фігури для генетису 2 та вище) навколо осі або шляхом алгебраїчного визначення неявної поверхні та маркування кубічних даних. Після отримання V, E і F для сітки, χ виникає з одного проходу через структуру даних — не потрібно використовувати чисельний аналіз для перевірки того, що передбачає теорема Гаусса-Бонне за допомогою числових методів.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Torus & Genus і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.