Топологічні дефекти: Динаміка воронців у XY моделі

Розташування та взаємодія атомів у кристалічній решітці

2D XY модель розміщує невелику стрілку — двовимірну одиницю вектора або спін, що характеризується лише кутом — на кожній позиції кристалічної решітки. Сусідні стрілки віддають перевагу показувати в одному напрямку, з енергетичним витратом на невідповідність, що відповідає тому, як сусідні магнітні моменти в справжньому магніті віддають перевагу вирівнюванню. На відміну від простішої моделі Ізинга, де кожен спін може показувати лише вгору або вниз, XY спін може показувати будь-яким напрямком у площині, що є додатковою свободою, яка робить можливими воронки.

Віртилі: водовертік з топологічним зарядом

Проходьте навколо невеликого замкнутого контуру спінів і відстежуйте, як змінюється кут стрілок. У гладкому, добре вирівняному регіоні кут повертається до початкового значення з нульовим чистою ротацією. Навколо віртилі ж стрілки обертаються на 360 градусів по колу — вітряний патерн, заморожений у полі. Цей повний оберт, поділений на 360 градусів, є викруткою віртилі, і вона може приймати лише певні дискретні значення (ціле число для такої системи, як XY-модель, або півціле число для нематичної рідини кристалу, де фізично невідрізнене від початкового значення 180-градусного обертання стрілки), оскільки поле має повернутися до послідовного значення після закриття контуру.

Викрутка w = (1 / 2π) * Σ Δθ навколо замкнутого контуру спінів w = +1 віртиль (стрілки обертаються один раз, в тому ж напрямку, що й коло) w = -1 антивіртиль (стрілки обертаються один раз, протилежним напрямком) w = ±1/2 дискляіна (півцільові дефекти, наприклад, у нематичних рідинах кристалів) Дефект з викруткою ±1 є віртилем або антивіртіллю; випадок ±1/2 — це дискляіна, що спостерігається в системах, де параметр порядку має двократну асиметрію, а не однократну. Оскільки ця викрутка може приймати лише дискретні значення, які не можуть змінюватися під будь-якою плавною безперервною деформацією поля стрілок навколо неї, це справжня топологічна величина — віртиль не можна просто згладити, трохи похитуючи поле; його можна знищити лише зіткненням з антивіртіллю протилежного знаку.

winding number  w = (1 / 2π) * Σ Δθ    around a closed loop of spins

w = +1   vortex        (arrows rotate once, same sense as the loop)
w = -1   antivortex    (arrows rotate once, opposite sense)
w = ±1/2 disclination  (half-integer defects, e.g. in nematic liquid crystals)

Притягання, відштовхування та знищення

Одиновий воротник, що знаходиться само по собі в моделі XY, спотворює все навколишнє поле, і його енергія еластичного спотворення насправді збільшується з розміром системи — реальна вартість, яку модель повинна заплатити за розміщення ізольованої дефекту. Зблизька розташуйте два воротинки, і їхні поля спотворень взаємодіятимуть подібно до полів навколо однакових або протилежних електричних зарядів: два воротинки одного знаку відштовхуються, оскільки змушення більшого загального скручування в невеликій спільній області підвищує енергію далі; два протилежного знаку притягуються, оскільки їхні поля частково скасовують зовні пари, знижуючи загальну енергію, чим ближче вони сидять. Якщо протилежні пари зіткнуться, вони знищать один одного, вирівнюючи поле до нуля чистого скручування та звільнивши енергію, яка зберігалася в їхньому поєднаному спотворенні — ту ж якісну поведінку, що видно в мові частиці-античастинки, що використовується для топологічних дефектів у космології та більш загально конденсованих матеріях.

Перехід Березкінського-Костерліца-Тоулосса

Віртилі також є ключем до одного з найбільш визнаних фазових переходів у статистичній фізиці. При низькій температурі енергетичний бар’єр для ізольованого віртілі робить існування неможливим, тому віртилі існують лише як щільно пов'язані пари протилежного знаку, чиє сукупне поле, переважно скасоване, швидко замикається з відстанню, що дозволяє системі зберігати певну форму довготривалої порядку – не ідеальну, рівномірну вирівнювання, а повільно, із законом степеней спадності кореляція між віддаленими спінами, яка називається квазідовготривалим порядком. Підвищивши температуру за певне критичне значення, теплова енергія стає достатньою для роз’єднання цих пов'язаних пар у газ незалежно блукаючих віртілей; кожна вільна віртіль із повільним спадом її поля руйнує навіть цей квазідовготривалий порядок, і кореляції між віддаленими спінами падають експоненціально. Цей перехід Березкінського-Костерліца-Тоулосса (БКТ) є незвичайним серед фазових переходів, оскільки він повністю зумовлений роз’єднанням топологічних дефектів, а не більш звичним спонтанним порушенням симетрії у звичайному переході порядку-безладу – робота, яка була визнана Нобелівською премією 2016 року з фізики для Костерліца та Тоулосса (з Холденом, для пов'язаної роботи).

Ті самі дефекти, багато матеріалів

Модель XY з її воронцями не є просто абстрактною цікавістю — одна й та ж математика обертання, притягування-відштовхування та БКТ розпадається на воронці в типі II надпровіднику, що пронизують магнітні потоки, квантовані воронці, які з'являються в обертовому надрідкому гелії або в бозоній конденсаті, дисперсії, які організовують текстуру нематичного рідкого кристала та структури доменів тонких магнітних плівок. Десять де фізична система описується параметром порядку з безперервною круговою симетрією, цей самий кластер топологічних дефектів і цей же стиль переходу, що викликаний дефектами, схильний повторюватися.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Topological Defects і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.