Кишеньковий гідрологічний симулятор

Налаштування: коруботочна рама та один параметр маси

Обмежена задача про три тіла запитує, як безмасовий тестовий частинок рухається під впливом гравітації двох набагато більших тіл — первинних, які самі обертаються навколо свого спільного центру мас по фіксованих колісних шляхах. Оскільки третє тіло занадто легке, щоб порушити орбіту первинних, ми можемо працювати в коруботочній системі відліку, яка обертається з тією ж швидкістю, що й їхній оберт — дві первинні тіла залишаються нерухливими, на варті введення центрифужної та Корилісової псевдосили. В нормалізованих одиницях вся система спрощується до одного параметра маси μ = m₂/(m₁+m₂).

ẍ − 2ẏ = ∂Ω/∂x ẏ̈ + 2ẋ = ∂Ω/∂y Ω(x,y) = ½(x²+y²) + (1−μ)/r₁ + μ/r₂ (ефективний потенціал) Ці закорельовані нелінійні рівняння не мають загального розв’язку в елементарних функціях. Дослідження Генрі Пуанкаря цієї системи в кінці девдесятого століття виявило, що траєкторії можуть бути надзвичайно чутливими до початкових умов — історичне місце народження теорії хаосу, і все ще важлива основа сучасної небесної механіки.

ẍ − 2ẏ = ∂Ω/∂x        ẏ̈ + 2ẋ = ∂Ω/∂y
Ω(x,y) = ½(x²+y²) + (1−μ)/r₁ + μ/r₂   (effective potential)

Об’єктна константа та криві з нульовою швидкістю

Хоча в обертовому кадрі зазвичай не зберігається енергія, система має одну збережену величину: об'єктну константу C = 2Ω − v². Оскільки C ніколи не змінюється вздовж траєкторії, вона обмежує малий тіло областями, де v² ≥ 0. Межі цих областей є кривими з нульовою швидкістю — невидимі стіни, які тіло може наблизити, але ніколи не перетинає на заданій енергії, і місіонери використовують їх для побудови ефективних маршрутів передачі палива низької енергії.

П’ять Лагранжевих точок

Ефективний потенціал Ω має п'ять стаціонарних точок, де його градієнт зникає — Лагранжі точки L1 до L5. Три колонеарні точки, розташовані на лінії, що з’єднує первинні, є динамічно нестабільними, як кулька, закинута на сідло. Дві трикутні точки L4 і L5 утворюють рівносторонні трикутники з первинними та є стабільними, коли відношення мас первинних перевищує приблизно 24,96 до 1 — причина, чому тисячі троянських астероїдів скупчуються навколо Юпітера в L4 і L5. Реальні місії живуть у цій геометрії: телескоп «Джеймс-Вебб» обертається навколо Сонця та Землі в L2 у вигляді гало, а SOHO розташований біля L1 для безперешкодного огляду Сонця.

Стан хаосу є детермінованим, а не випадковим

Дві траєкторії, що починаються на відстані волосця один від одного в фазовому просторі, експоненціально розходяться, властивість, виміряна позитивним Ліapunov-чисельник. Рух ніколи не є випадковим — одна й та ж початкова станом завжди дає одну й ту саму траєкторію — але оскільки будь-яка реальна початкова умова відома лише приблизно, довгострокове прогнозування швидко деградує. Регулярні, майже періодичні орбіти та шалені хаотичні можуть існувати в одній системі, розділені крихкими межами, змальованими Poincaré-розрізами. Тритісний рушій дійсно має нескінченну кількість траєкторій, і навіть спеціальні точні розв’язки, такі як орбіта восьмірки — що він не має єдина загальна формула.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.