Атрактор Томаса: Хаос з трьох синусоїдних хвиль

Одне параметре, три симетричні рівняння

Аттрактор Томаса, представлений фізичним хіміком Реном Томасом у 1999 році, є однією з найпростіших за зовнішнім виглядом хаотичних систем, коли-небудь записаних. Його три закоплених диференціальних рівняння циклічні щодо x, y, z – обертання трьох змінних та рівнянь відображаються один на одного – і кожна нелінійність є єдиною синусоїдною функцією:

x' = sin(y) - b*x y' = sin(z) - b*y z' = sin(x) - b*z Існує рівно один вільний параметр, b, який відіграє роль лінійного коефіцієнта гасіння/дисипації. Оскільки система інваріантна щодо циклічного перестановки (x, y, z), то отриманий аттрактор – якщо він існує – має тривимірну обертальну симетрію: він виглядає однаково після перемаркування осей, що дає рендерам аттрактора Томаса їх характерну в’язану, решітчасту структуру замість двокрилового вигляду аттрактора Лорренца.

x' = sin(y) - b*x
y' = sin(z) - b*y
z' = sin(x) - b*z

Розпад і чому траєкторії не розходяться

Чи зменшується потік, такий як цей, об’єм фазового простору, і чи може він підтримувати обмежений притяжний центр взагалі, визначається розбіжністю векторного поля. Тут div(F) = -3b, стала, незалежна від положення. Для b > 0 розбіжність однорідно негативна: кожна нескінченно мала хмара сусідніх початкових умов зменшує свій об’єм під час еволюції, отже траєкторії не можуть розходитися до нескінченності, але й не можуть згенерувати скупчення в одній точці, якщо фіксована точка насправді стабільна там. Ця комбінація – загальне зменшення об’єму, але без колапсу в одну точку – є точною геометрічною сигнатурою дивної привабливості: нескінченно складений, фрактальний об'єкт нульового об'єму, на який траєкторії малюються та блукають безперервно, ніколи не повторюючися точно.

Від фіксованої точки до хаосу при зменшенні b

Одинокий важіль b простежує систему через класичний шлях у хаос. При великому b (сильне гамування, приблизно b > 1), початкова точка та будь-які сусідні стабільні точки існують, і все сходиться до спокою — нудно, але корисна перевірка на розумність. Зменшуючи b, стабільність фіксованих точок втрачається через біфуркацію Хопфа та з'являється стабільний обмежений цикл — один закритий періодичний ланцюг. Ще більше зменшуйте b, приблизно b ~ 0.32-0.20 (залежно від того, де ви шукаєте), і періодна орбіта зазнає каскаду подій подвоєння періодів, кожна з яких подвоює кількість ланцюгів до тих пір, поки траєкторія не повторюється, накопичуючи швидкість до нескінченності та руху, яке ніколи не повторюється точно — повний хаос. Зазвичай вказаний «класичний» хаотичний режим знаходиться приблизно b ~ 0.19-0.20, який є замовчуванням, що використовується більшість рендерів (включаючи цей сайт), оскільки він створює найповнішу та найбільш впізнавану структуру сітки.

b ~ 1.0    -> stable fixed point, trajectory spirals to rest
b ~ 0.5    -> stable limit cycle, one closed loop
b ~ 0.32   -> period-doubling cascade begins
b ~ 0.19   -> fully chaotic, fractal strange attractor

Відображення: RK4 та повільне накопичення

Через те, що векторне поле містить лише синусоїдні функції та лінійний член, воно дешево обчислюється, тому четвертий порядок Runge-Kutta з невеликим фіксованим dt (0.01–0.05) точно відстежує траєкторію протягом тисяч кроків, необхідних для заповнення візуальної структури фракталу притягателя. На відміну від карти, як-от бамслева папороть, немає аналітичного шляху – кожна точка притягателя досяжима лише шляхом інтеграції РLД вперед з початкової точки, тому ці рендери завжди показують один безперервно зростаючий слід замість розсіювання незалежно розташованих точок. Колір зазвичай відображається як миттєва швидкість або час від початку, що перетворює інший монохромний ланцюг на візуально читабельний вузол, який показує, які регіони траєкторія часто відвідує.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Thomas Attractor і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.