Тісання та плитки Пенроуза

Заповнення площини без проміжків або перекриттів

Тісація покриває плоску поверхню фігурами так, щоб кожна точка належала рівно одному елементу, без будь-яких зазорів і перекриттів. Найпростіший випадок — регулярне вкладання: копії одного регулярного багатокутника один до одного. Успішно це робить лише три регулярні багатокутники – трикутник, квадрат та шестигранник – оскільки сума внутрішніх кутів, що зустрічаються у кожній вершині, має бути рівно 360 градусам.

triangle: interior angle 60°   -> 6 meet at a vertex  (6 x 60 = 360)
square:   interior angle 90°   -> 4 meet at a vertex  (4 x 90 = 360)
hexagon:  interior angle 120°  -> 3 meet at a vertex  (3 x 120 = 360)
pentagon: interior angle 108°  -> 360 / 108 is not a whole number, so no
          regular pentagon tiling exists at all

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Напіврегулярні плитки та 17 шпалерних груп

Поєднання полігонів різних типів у кожній вершині – за умови, що однакова послідовність полігонів оточує кожну вершину – дає вісім архімедевих (напіврегулярних) плиток, таких як знайомий малюнок 3.3.4.3.4 з квадратів і трикутників. Однак будь-який періодичний малюнок на площині, незалежно від його складності, належить точно до однієї з 17 шпалерних груп – повної класифікації (доведено суворо у 1924 році Джорджем Поля) способів повторення мотиву за допомогою перекладів, поворотів, дзеркальних відбиттів та зсувів без прогалин.

Малюнки М. Ешера з переплетенею птахів і ящірок є звичайними періодичними вкладеннями, де краї плиток були спотворені відповідними перекладами, щоб межа між сусідами стала невидимою.

Пенрозову плитка: порядок без повторень

У 1974 році Роджер Пенроуз виявив набір плиток – найвідомішим з яких є «крилатий» (kite) та «пір’яний» (dart), або, еквівалентно, два ромба. Ці плитки лише періодично покривають площину без урахування повторень: незалежно від того, наскільки далеко ви укладіть їх, візернок не повторюється, але воно складається лише з двох форм, дотримуючись суворих правил відповідності країв. Це не лабіринт у теоремі про шпалери-групи; ці 17 груп класифікують періодичні візерунки, а Пенрозова плитка навмисно не є періодичною. Застосування правил відповідності (зазвичай зображуються як кольорові дуги, які повинні збігатися по кожньому спільному краю) запобігає колапсу плиток в одне з звичайних періодичних покриттів і змушує мати форму п’ятикратної симетрії, яку жодне періодичне покриття ніколи не може мати – кристалографічний теорема про заборону відкидає 5-кратну обертальну симетрію будь-якого періодичного візерунка, оскільки 108° не ділиться на 360° рівномірно.

Побудова: метод пентагриду

N. G. de Bruijn показав у 1981 році, що Penrose плитка може бути згенерована безпосередньо, без спроб і помилок, шляхом малювання п’яти родин паралельних ліній, розташованих під кутом 36° одна до одної (пентагрид), та взяття подвійного графа цієї укладки: кожна точка перетину ліній сітки стає вершиною ромба. Альтернативно, Penrose плитка є тінем, який утворюється при проєкції скиленого зрізу п’ятивимірного кубічного решітки в два виміри – періодичність просто виглядає як структура, що має періодичність у 5D, коли ми дивимося на неї з ірраціонано нахиленої площини другого порядку.

Квазикристали: фізика, яка потрапила в пастку 1982 року

Протягом десятиліть це мало вигляд чистої математики. У 1982 році Дан Шехтман помітив сплав алюмінію-магнієвий, рентгенівське дифракційне зображення якого показувало гострі точки з десятикратною симетрією — забороненою для будь-якого звичайного кристала тим самим обмеженням теореми, що забороняє п’ятикутну мозаїку. Атоми були розташовані так, ніби це 3D аналог мозаїки Пенроуза: достатньо упорядковані для різкого дифрактування, але ніколи не періодичні. Це відкриття спочатку було відкинуто, і Шехтману було присуджено Нобелівську премію з хімії в 2011 році, коли ця сфера прийняла його; ці квазикристали є фізичним доказом того, що мозаїки Пенроуза описують реальний стабільний стан матерії.

Часті запитання

Чому звичайні п’ятикутники не можуть укладати площину самостійно?

Внутрішній кут регулярного п’ятикутника становить 108 градусів, а 360 поділити на 108 не дає цілого числа, тому жодна кількість п’ятикутників не може закрити навколо однієї вершини без проміжків або перекриттів. Цей кристалографічний теорема про обмеження узагальнює цю ситуацію: жодне періодичне укладання площини ніколи не матиме точної 5-кратної обертальної симетрії.

Чому Penrose-у укладання відрізняється від звичайного періодичного укладання?

Воно побудоване лише з двох форм плиток за суворих правил відповідності країв, є повністю детермінованим, як тільки ви починаєте, але ніколи не повторюється жодним перетворенням, незалежно від того, наскільки далеко ви розглядаєте його. Воно також демонструє форму 5-кратної симетрії, яка математично неможлива для будь-якого періодичного укладання, що й пояснює необхідність спеціального конструювання замість класифікації серед 17 груп шпалер.

Чи є квазикристали справним матеріалом чи лише математичною ідеєю?

Вони справжні. Дан Шехтман виявив фізильний сплав алюмінію та марганцю з забороненою 10-кратною дифракційною симетрією в 1982 році, структурно аналогічний тривимірному укладанню Penrose, і отримав Нобелівську премію з хімії 2011 року за це відкриття після підтвердження.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Tessellations і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію Tessellations

Тісання: Від регулярних тісаннь до забороненої симетрії Пенроуза