Кригінг: Інтерполяція простору з чесною невизначеністю

Визначення, що лежить між зразками

Дощові датчики, свердловини для відбору ґрунту та проб гірської породи, датчики якості повітря – майже неможливо отримати безперервний огляд поверхні. Просторове інтерполювання — це проблема перетворення розкиданого набору вимірювань у точковій формі на безперервну оцінену поверхню. Грубі підходи є детермінованими: найближчий сусід просто копіює найближчий зразок, зворотне відношення відстані змішує сусідні зразки за фіксованою силою відстані. Обидва створюють поверхню, але жоден з них не базується на тому, як фактично змінюється підлягаючий феномен у просторі, і жоден з них не говорить вам, скільки довіряти результату подалі від точки зразка.

Закон Товалера та варіаграма

Вальдо Товалер сформулював перший закон географії простору так само: все пов'язане з усім іншим, але близькі речі більш пов’язані, ніж далекі. Kriging перетворює це відчуття в функцію. Варіаграма (або семаваріаграму) описує, наскільки відмінними стають два вимірювання, коли збільшується відстань між ними:

γ(h) = 0.5 * E[ (Z(x) - Z(x+h))^2 ] // очікувана квадратна різниця на лазі h сферична модель, що відповідає емпіричній кривій: γ(h) = nugget + sill * (1.5*(h/range) - 0.5*(h/range)^3) для h < range γ(h) = nugget + sill для h >= range Три параметри описують прилаштовану криву. Nugget — це розрив на нульовому розрізі — вимірювальний шум або справжня мікромасштабна варіабельність, яку сітка зразків занадто груба, щоб вирішити. Sill — це плато варіації, яка встановлюється, коли точки достатньо далеко одна від одної, щоб бути статистично незалежними. Range — це відстань, на якій досягається цей плато.

γ(h) = 0.5 * E[ (Z(x) - Z(x+h))^2 ]      // expected squared difference at lag h

spherical model fit to the empirical curve:
γ(h) = nugget + sill * (1.5*(h/range) - 0.5*(h/range)^3)   for h < range
γ(h) = nugget + sill                                        for h >= range

Озвичай кригінг: найкращий лінійний незмінний прогнозувальник

Озвичай кригінг оцінює значення в нерозміщеній точці як зважену суму сусідніх вибірок, але на відміну від зворотного від відстані вагування, ваги не обираються вручну — вони виникають із лінійної системи, побудованої безпосередньо на основі підкованої віариграми, за умови одного обмеження: ваги повинні сумуватися до одиниці, що гарантує, що оцінювач є ухильним.

Для кожного зразка i розв’яжіть: Σ_j λ_j * γ(x_i, x_j) + μ = γ(x_i, x0) // μ = множник Лагранжа Σ_j λ_j = 1 // обмеження ухильності

оцінка: Ẑ(x0) = Σ_j λ_j * Z(x_j) варіація: σ²(x0) = Σ_j λ_j * γ(x_j, x0) + μ Серед усіх лінійних оцінювачів цей вибір ваг є тим, що мінімізує очікуване квадратичне помилку — що означає «найкращий лінійний незмінний прогнозувальник». З нульовим насінням кригінг також є точним інтерполятором: в точці зразка він повертає точно виміряне значення. Важливо, що та ж система також виробляє варіацію кригінгу, справжню, просторово змінну міру впевненості, яка зростає далі від найближчих зразків — що зворотне від відстані вагування просто не має механізму для цього.

for every sample i, solve:
   Σ_j λ_j * γ(x_i, x_j) + μ = γ(x_i, x0)      // μ = Lagrange multiplier
   Σ_j λ_j = 1                                  // unbiasedness constraint

estimate:  Ẑ(x0) = Σ_j λ_j * Z(x_j)
variance:  σ²(x0) = Σ_j λ_j * γ(x_j, x0) + μ

Збульки: ядро та діапазон перетворюють поверхню

Підніміть ядро відносно порогу та інтерпольована поверхня стає грубішою та тяжіє до середнього значення, навіть поблизу зразків, оскільки модель повідомляє, що дані самі по собі шумлять і менш надійні. Зменшіть діапазон і вплив кожного зразка стає дуже локальним, створюючи нерівну поверхню, схожу на найближчого сусіда; розтягніть діапазон і поверхня вирівнюється, з віддалених зразків тяжіє вага один до одного та прогнози екстраполюються з видимим (але не обов’язково обґрунтованим) рівнем впевненості.

Де застосовується криювання

Метод названий на честь Даніеля Кріге, південноафриканського інженера з гірничодобувної промисловості, та математично формалізований Жоржем Машероном у 1960-х роках під назвою геостатистика — спочатку це було оцінка запасів руди на нерегулярній сітці свердловин, де правильне відображення невизначеності має прямі фінансові наслідки. Згодом він поширився на ґрунтову науку, точну сільськогосподарювання, картографування забруднюючих речовин довкілля та інтерполяції клімату та опадів. Існує безпосередній зв’язок із сучасним машинним навчанням: звичайне криювання математично еквівалентне регресії гаусової процесу з коваріаційною функцією, отриманою з варіаграми — однакові рівняння, різний словник, розроблено незалежно в геостатистиці та статистики десятиліттями тому.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Spatial Interpolation & Kriging і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.