Сортування Алгоритмами: Від бульбашкового до радяного сортування

Нижня межа сортування порівнянням

Сортування порівнянням приймає рішення про порядок елементів лише на основі порівняння пар елементів. Існує n! можливих порядків для n елементів, і бінарне дерево прийняття рішень, яке розрізняє всі ці порядки, потребує висоти щонайменше ⌈log₂(n!)⌉, що за апроксимацією Стирлінга дорівнює Θ(n log n). Це інформаційно-теоретичний нижній поріг: будь-який алгоритм сортування порівнянням потребує щонайменше Ω(n log n) порівнянь у найгіршому випадку. Сортування злиттям та сортування кучем досягають цього порогу в найгіршому випадку; швидке сортування досягає його лише в середньому, погіршуючись до O(n²) при ворожому вході даних. Стабільне сортування зберігає відносну послідовність елементів з однаковими значеннями — сортування за прізвищем повинно підтримувати Джона Сміта раніше, ніж Джейн Сміт.

Сортування алгоритмами: аналіз складності та стратегій

Insertion sort є O(n) на майже відсортованих даних і є правильним вибором для невеликих масивів або онлайн-даних, що надходять по одному елементу за раз. Merge sort розділяє масив навпіл, рекурсивно сортує кожну половину, а потім об'єднує: T(n) = 2T(n/2) + O(n), що дає гарантований O(n log n) у найкращому, середньому та найгіршому випадках, стабільний, але не є in-place — він потребує O(n) допомісного простору. Python's Timsort і Java's Arrays.sort використовують знизу вгору варіант, який об'єднує попередньо існуючі відсортовані пробіли, досягаючи O(n) на майже відсортованих даних. Quicksort розділяє масив навколо півобливу: O(n log n) середнього з хорошим півом, O(n²) найгіршого випадку на відсортованому масиві з поганим — пом'якшено за допомогою вибору піва median-of-three, випадкових півів або Introsort's перемикання до heapsort після проходження порогового значення глибини рекурсії (використовується в C++'s std::sort).

Algorithm    Best        Average     Worst       Space   Stable  In-place
Insertion    O(n)        O(n²)       O(n²)       O(1)    Yes     Yes
Merge        O(n log n)  O(n log n)  O(n log n)  O(n)    Yes     No
Quicksort    O(n log n)  O(n log n)  O(n²)       O(log n) No     Yes
Heap Sort    O(n log n)  O(n log n)  O(n log n)  O(1)    No      Yes
Counting     O(n+k)      O(n+k)      O(n+k)      O(k)    Yes     No
Radix (LSD)  O(dn)       O(dn)       O(dn)       O(n+k)  Yes     No

Сортування за допомогою куч: Вихід за межі лінійного часу

Алгоритм сортування за допомогою кучі (heap sort) будує бінарний макс-кущ у часі O(n) (за алгоритмом Флойда побудови куща, а не n окремих вставлень), потім послідовно витягує максимальний елемент у часі O(log n) на кожному кроці, що гарантує O(n log n) у найгіршому випадку з додатковим простором O(1) — але це нестабільний алгоритм, і його випадковий доступ значно уповільнює роботу порівняно зі швидким сортуванням (quicksort) через пропуски в кеші (cache misses). Алгоритми, які повністю уникають порівнянь, можуть уникнути обмеження n log n: сортування за допомогою підрахунку (counting sort) підраховує кількість входжень елементів по відомому діапазону [0, k] та обчислює префіксні суми, що займає O(n+k) часу; сортування на основі розряду (radix sort) застосовує стабільне сортування за допомогою підрахунку до кожного розряду від найменшого до найбільшого, що займає O(d·(n+k)) часу, де d – кількість розрядів; сортування по контурах (bucket sort) розподіляє рівномірно розподілені дійсні числа в n контейнерів, що займає O(n) очікуваний час.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.