Фізика світовида: Stokes Drag, Плавучість та чому сніжинки падають настільки повільно

Частинки, що висять у в’язкій рідині

Сніжинка в сніговому глобусі — це маленькі частинки з низькою щільністю, що висять у рідині, набагато густіші за повітря — традиційно гліцерин і вода або подібна суміш, і їх рух визначається опором, а не вільним падінням. Для маленького сфери, яка повільно рухається через в’язку рідину, закон Стокса дає змогу безпосередньо обчислити силу опору, пропорційну швидкості: F_опір = -6π·μ·r·v (закон Стокса, низький число Рейнольдса) при граничній швидкості сила опору збалансована силою тяжіння мінус плавучість: v_гранична = 2r²(ρ_частинки − ρ_рідини)·g / (9μ) de μ — в’язкість рідини, r — радіус частинки, ρ — щільності частинки та рідини. Оскільки v_гранична масштабується з r², маленькі сніжинки осідають набагато повільніше, ніж очікує око — зменште радіус частинки вдвічі, і вона падає вчетверо повільніше — що саме пояснює те, чому «сніг» у сніговому глобусі опускається вниз протягом десятків секунд замість того, щоб падати, як пісок.

F_drag = -6π·μ·r·v      (Stokes' law, low Reynolds number)

at terminal velocity, drag balances gravity minus buoyancy:
v_terminal = 2r²(ρ_particle − ρ_fluid)·g / (9μ)

Моделювання тремтіння

У спокійному стані кристали осідають на дно під дією сили тяжіння, гальмуючись тертям доки їхня швидкість ефективно нульова. Тремтіння моделюється як імпульсний ударний поштовх швидкості, застосований до всіх частинок одночасно — вибух випадкового або корельованого руху достатнього розміру, щоб підняти осідалі кристали назад у суспензію, об’єднаний з турбулентними термінами, щоб кристали не рухалися в ідеальному синхроні. Після імпульсу діє той же закон тертя, що регулює процес опадання: швидкості експоненційно зменшуються до (багато повільнішої) кінцевої швидкості падіння, тому симуляція природним чином створює характерний вигин «снігової кулі» — швидке початкове спіралювання, яке згладжується та поступово сповільнюється у м’який, майже вертикальний опір.

on shake:
    for each particle: v += randomImpulse() + swirlField(position)
each frame:
    v += gravity * dt
    v -= dragCoefficient * v * dt     // exponential decay toward v_terminal
    position += v * dt
    collide against the glass sphere boundary

Чому це опускається так, а не миттєво

Якщо б у вакуумі падалиші крилатка, вони б прискорювалися під дією сили тяжіння і впали б на дно менше ніж за секунду. Дві речі сповільнюють цей процес тут: термінальний член вище, який обмежує швидкість падіння до v_terminal майже відразу (час досягнення 90% від кінцевої швидкості для частинки зі Стокса-дифузією становить частку секунди, але ця кінцева швидкість сама по собі дуже мала для невеликих, майже нейтральних за плавучістю крилаток), і просто плавучість — оскільки крилатка лише трохи щільніша за навколишню рідину, ефективна сила тяжіння, що діє на неї (ρ_частинки − ρ_рідини)·g, значно менша за силу тяжіння само по собі. Справжній матеріал для снігової кулі спеціально обирається так, щоб він був близький до нейтральної плавучості з цієї причини: чим ближче дві щільності, тим довше і більш казковим виглядає процес опускання.

Зіткнення з кривою

Частинки утримуються всередині сфери, тому кожен крок має перевіряти відстань кожної частинки від центру кулі проти внутрішнього радіусу та, якщо вона перевищила його, відображати компонент швидкості вздовж поверхневої нормалі та повертати частинку трохи всередину межі. Це простий зіткнення кулі з точкою — досить дешево для запуску сотень частинок кожного кадру — але це те, що зберігає крихітки візуально утримуваними, а не плаваючими крізь скло, і воно також створює ледь помітне накопичення крихіток вздовж нижньої внутрішньої кривої кулі після того, як вони в основному осяли.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Snow Globe і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.