Зростання Кристалів Снігу: Як DLA Будує Шестирозвідний Фрактал

Зростання кристалів снігу

Кристал снігу не виліплюється знизу вгору; він нарощується. Молекули водяного пару випадково переміщуються через вологе повітря за допомогою випадкового руху (Браунівського руху), поки випадково одна з них не зіткнеться з кристалом і не закріпиться на ньому назавжди. Це фізична основа Дифузійно-обмеженого наросту (DLA), моделі, запропонованої Віттеном та Сандером у 1981 році: зерноподібна частинка залишається нерухомою, а нові частинки випускаються один за одним з великої відстані, випадково блукаючи до тих пір, поки вони не торкаються зростаючого кластера та не прикріплюються до нього безповоротно.

Ключова фізична ідея полягає в тому, що зростання обмежується дифузією матеріалу на поверхню, а не самим етапом приєднання. Дебрування випадкових переміщувачів відбувається перш за все на кінчиках та зовнішніх гілках, оскільки статистично легше для переміщувального елемента досягти їх перед проникненням глибоко в розлом. Зростання прискорюється там, де відбувається першим — кутовий і кінцевий розвиток випереджає вигнуті області позаду них, які голодують. Ця позитивна зворотний зв'язок між виставленням та швидкістю зростання створює характерну для DLA фрактальну структуру з гілками в гілках із фрактальною мірою близько 1,71 у двох вимірах, значно нижче 2 твердої диска.

Чому шість рук, а не випадковий клубок

Вода замерзає у шестигранну кристалічну решітку: два водневі зв’язки та два неподільні пари кожного водень-атома організуються в тетраедричний шаблон, який, зібраний разом у льоду Ih, створює шістьразову ротаційну симетрію. На гексагональній симуляційній сітці частинка може прилипнути лише до одного з шести сусідніх напрямків, тому кожна починаюча рука, що росте, успадковує ті ж самі шість переважних напрямків, як і будь-яка інша рука. Результатом є кристал, чиї гілки всі вказують у тих самих шести напрямках, незалежно від хаотичного випадкового ходу, який побудував кожен з них — порядок із руйнування симетрії, а не вибір керівника форми.

seed a single hexagonal cell at the centre
loop:
  release a walker at a random point on a large bounding circle
  step it with a random hexagonal-lattice random walk
  if walker is adjacent to the crystal:
      with probability p_stick: freeze it onto the lattice, done
      else: keep wandering (it may re-enter open space and be discarded if it drifts too far)
  else: continue random walk (reflect or discard if it strays outside the circle)

Температура, пересичення та діаграма Накая

Реальні сніжинки значно різноманітніші за один пробіг DLA, оскільки температура та пересичення (кількість надлишкового водяної пари, доступної за межами рівноваги) обидва змінюють режим росту. Укiчиро Накая каталогізував це в 1930-х роках, вирощуючи кристали у холодному камері та відображаючи форму кристалів відносно температури та тиску водяної пари, що призвело до знаменитої діаграми Накая: тонкі пластини біля 0 °C і нижче −22 °C, голки та порожнисті стовпчики близько −5 °C та класичні лускаті дендритні зірки навколо −15 °C, де пересичення є найвищим. Низьке пересичення сприяє простим, компактним кристалам з чітко визначеними гранями, оскільки швидкість росту недостатньо велика для того, щоб кристал залишався близько до своєї рівноважної гексагональної форми; високе пересичення сприяє швидкому нестабільному зростанню кінчиків та складним відгалуженням — точно тому режиму обмеженого дифузією, який захоплює DLA.

У симуляції ймовірність прилипання відіграє роль того самого регулятора. Ймовірність прилипання, близька до 1, означає, що Walker замерзає з моменту контакту з кристалом, тому зростання визначається виключно першим місцем прибуття випадкового ходу — максимально обмеженим дифузією, максимально розгалуженим. Зниження ймовірності прилипання дозволяє Walker відскакувати по поверхні на деякий час, перш ніж замерзнути, даючи йому шанс знайти більш гладку, енергетично сприятливу позицію та виробляти щільніші, більш компактні кристали, що імітує ефект нижчого градієнту пересичення при реальному рості льоду.

Нема двох однакові – і чому це неминуче

Часто повторювана заява про те, що жодного сніжинка не буває однаковою, статистично є правдою: окремий кристалічний зернило накопичує порядку 10¹⁸ молекул по шляху, сформованому мільйонами незалежних випадкових процесів, тому точна мікроскопічна історія суттєво унікальна кожного разу. Що є спільним, це правило, а не результат – шістьгранна симетрія від кристалічної решітки, фрактальне розгалуження з граничного значення дифузії та сімейство форм залежно від температури. DLA є хорошим навчальним прикладом саме тому, що він розділяє ці елементи: одна й та ж випадкова процедура, повторювана, ніколи не дає однакового кристала двічі, але кожен повтор дотримується тих самих шістьгранних статистичних параметрів, які сприяють розгалуженню.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Snow Crystal — DLA Growth і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.