Шість ступенів відокремленості: мережа ‘маленького світу’ за Вотсом-Строґацом

Взаємозв’язок шести градусів та мережі невеликого світу

У 1967 році психолог Стенлі Мілґрам провів експеримент, який став легендарним у науці про мережі: він надіслав стопку листів волонтерам у Небразі та Канзасі, адресованих до Brokers в Бостоні, з інструкцією передавати листок лише людині, яку вони особисто знають, яка соціально ближча до цільової, і так далі. Цікаво, що найдовші ланцюжки зазвичай складалися з 5-6 перерваних зв’язків — походження фрази «шість ступенів відокремленості». Більшість ланцюгів ніколи не закінчувалися, тому число є властивістю успішних шляхів, а не строго доведеним фактом про всю соціальну мережу, але інтуїція, яку воно передало — те, що наші особисті мережі, хоч і локально щільні, мають достатньо довготривалих зв’язків, щоб зробити весь світ досить близьким — виявилася правильною, і лише через три десятиліття хтось побудував модель, яка пояснює, чому це сталося.

Конструкція Воттса-Строґаца

Донан Ваттс та Стівен Строґаз представили цю модель у 1998 році. Почніть із кільцеподібної решітки: n вузлів, розташованих по колу, кожен з’єднаний з його k найближчими сусідами з обох боків. Ця регулярна структура має саме властивість місцевих соціальних мереж дружби — ваші сусіди та їхні сусіди часто є вашими сусідами, високий коефіцієнт зв’язності — але це погана модель для всієї мережі, оскільки перехід від однієї сторони кільця до іншої потребує кількості стрибків пропорційної n, що зростає лінійно з розміром мережі.

початок: кільцеподібна решітка, n вузлів, кожен з’єднаний із його k найближчими сусідами → високий коефіцієнт зв’язності C(0), довга середня довжина шляху L(0) ~ n для кожного краю, з ймовірністю p: переробити один кінець до випадкового вузла p = 0 → регулярна решітка (високий C, довгий L) p = 1 → випадкова графа (низький C, коротка L) 0 < p < 1 (малий) → МАЛОВІДНІ мережі: C залишається високим, L швидко колапсує Конструкція потім незалежно перероковує кожен край до випадкового вузла з певною малою ймовірністю p. При p = 0 у вас є оригінальна повільна, зв’язана решітка; при p = 1 ви маєте граф типу Ердеша-Ренея, з короткими шляхами, але майже без зв’язності. Здивування полягає в тому, що відбувається між ними: навіть дуже мале p — переробити лише кілька відсотків країв — достатньо, щоб швидко обважнити середню довжину шляху майже до значення випадкової графа, тоді як коефіцієнт зв’язності майже не падає від значення решітки. Існує широкий діапазон p, де мережа одночасно має обидва ці властивості.

start:  ring lattice, n nodes, each linked to its k nearest neighbours
        → high clustering C(0), long average path length L(0) ~ n

for each edge, with probability p:
  rewire one endpoint to a uniformly random node

p = 0    → regular lattice   (high C, long L)
p = 1    → random graph      (low C,  short L)
0 < p < 1 (small)  → SMALL WORLD: C stays high, L collapses fast

Чому декілька компромісів робить так багато роботи

Інтуїція щодо асиметричного колапсу полягає в тому, що кластеризація є локальною властивістю — вона залежить лише від того, чи знайомі ваші безпосередні сусіди — отже, невеликий кількість випадково перероблених ребер, розкиданих по всій мережі, впливає лише на невелику кількість місцевих районів і майже не пошкоджує середню величину. Довжина шляху, навпаки, є глобальною властивістю, і одне довге міжзв’язкове ребро може скоротити відстань між двома інакшими віддаленими областями мережі з десятків кроків до двох або трьох. Оскільки ці міжзв’язкові компроміси також з’єднані один з одним, їхній ефект швидко накопичується: невелика кількість випадкових довгих ребер швидко створює мережу компромісів між компромісами, і середню довжину шляху в межах всієї мережі не залежить від n, а залежить від log n.

Деякі прояви властивості малого світу

Ваттс і Строґац у своїй оригінальній статті тестували модель проти нейронної мережі нематоди C. elegans, північноамериканської енергосистеми та мережі співпраці кіноактерів — усі три демонстрували характерний комбінацію коротких шляхів і високої кластерності. Такий же структурний відбиток зустрічається в соціальних мережах (у 2011 році було виявлено, що глобальна мережа Facebook в середньому має приблизно 3,5 ступені відокремлення), і він має прямі практичні наслідки для епідеміології: оскільки хвороба може поширюватися через мережу так швидко, як це дозволяють її найкоротші шляхи, навіть невелика кількість довгодальте соціальних або транспортних зв'язків може перетворити те, що було б повільним, географічно обмеженим спалахом, на такий, який охопить всю популяцію швидко.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Six Degrees of Separation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.