Тетаедр Сьєрпінського: Фрактал у 3D

Від трикутника до тетраедра

Звичний багатогранник Серпінського є побудований шляхом видалення середнього трикутника з рівностороннього, потім повторюється на кожному з трьох уявних кутових трикутників, назавжди. Тетраедр Серпінського (також відомий як тетрікс) робить аналогічну річ однією виміру вгору: починаючи з регулярного тетраедра, зменшує його до половини щодо кожного з чотирьох вершин, щоб отримати чотири менші тетраедри та відкидає центральну октаедричну дірку, що залишилася посередині. Рекурсивно використовується кожен із чотирьох виживших тетраедрів.

Підрозділення(тетра, глибина): якщо глибина == 0: малювати(тетра); повертати для кожного з 4 вершин v тетра: дитина = тетра масштабована на 1/2 до v підрозділити(дитина, глибина - 1) // центральна октаедр, утворена 4-ма середніми точками, відкидається Після d рівнів рекурсії існує точно 4^d тетраедрів, кожен масштабований на (1/2)^d. Оскільки октаедральна дірка викидається на кожному рівні та на кожному масштабі, об'єм обмеження дорівнює нулю — нескінченно проколений, тоді як його поверхня дійсно зростає без меж, коли все більше і більше маленьких граней виявляються.

subdivide(tetra, depth):
  if depth == 0: draw(tetra); return
  for each of the 4 vertices v of tetra:
    child = tetra scaled by 1/2 toward v
    subdivide(child, depth - 1)
  // the central octahedron formed by the 4 midpoints is discarded

Розмір фракталу: log4/log2 = 2

Фрактальний розмір (самовід подібність / підрахунок ящиків) фігури, побудованої з N копій, кожен масштабованих на коефіцієнт s, дорівнює D = log(N) / log(1/s). Для Sierpiński трикутника N = 3 копії при s = 1/2, що дає D = log3/log2 ≈ 1.585 — форма "між" лінією та площиною, що є класичним зображенням того, що означає дробовий розмір.

D = log(N) / log(1/s) Sierpiński трикутник: N = 3, s = 1/2 -> D = log3/log2 ≈ 1.585 Sierpiński тетраедр: N = 4, s = 1/2 -> D = log4/log2 = 2 (точно) Тетраедр використовує N = 4 копії при тому ж s = 1/2, що дає D = log4/log2 = 2 точно — звичайне ціле число. Це чисельний випадковий зв'язок для цього конкретного конструкту (4 = 2²), а не правило, за яким 3D фрактали повинні припадати на цілі числа; більшість названих фракталів у будь-якій кількості вкладених вимірів мають справді дробовий розмір підрахунку ящиків. Це означає, що Sierpiński тетраедр є дивовижним випадковим випадом: твердий об'єкт з нульовим об’ємом і нескінченною прохідністю, чий показник "грубості" відповідає звичайній площинній поверхні.

D = log(N) / log(1/s)

Sierpinski triangle:    N = 3, s = 1/2  ->  D = log3/log2 ≈ 1.585
Sierpinski tetrahedron: N = 4, s = 1/2  ->  D = log4/log2 = 2 (exact)

Построение хаоса

Существует второй, чисто случайный способ нарисовать ту же форму: игра хаоса. Зафиксируйте четыре вершины тетраэдра, сбросьте точку в любом месте, затем повторяйте это бесконечно: выбирайте одну из четырех вершин случайно и перемещайте точку наполовину к ней, отслеживая новую позицию каждый раз. После удаления первой группы непостоянных точек нанесённые точки попадают точно в тетраэдрическую пирамиду — без рекурсии, без явного деления на части, просто случайный путь под сокращающей картой.

p = случайная точка внутри тетраэдра повторять бесконечно: v = случайная одна из 4 вершин тетраэдра p = (p + v) / 2 // прыжок наполовину к v нарисовать(p) // после короткого непостоянного периода это фрактал

Это работает, потому что четыре «прыжка наполовину к вершине» карты образуют итеративную систему функций (IFS) сжатий, и любая IFS сжатия имеет уникальное непустое компактное притягивающее тело — набор, который является инвариантным под объединением карт и который любая начальная точка стремится, согласно теореме фиксированной точки Бранша для пространства компактных множеств по метрике Хаусдорфа. Притягивающее тело здесь точно тетраэдрическая пирамида; детерминированное деление на части и случайная игра хаоса — это два разных алгоритма, сходящиеся в одном границе множества.

p = random point inside the tetrahedron
repeat forever:
  v = random one of the 4 tetrahedron vertices
  p = (p + v) / 2      // jump halfway toward v
  plot(p)               // after a short transient, this is the fractal

Самоподобие за пределами диаграммы

Рекурсивное деление типа Сьерпинского является стандартным инструментом в компьютерной графике для создания детализированных геометрий из небольшого набора правил — рельеф, листва и процедурные сетки во многом опираются на одну и ту же идею «заменить форму меньшими копиями самой себя». В электротехнике фрактальные конструкции антенн используют мультимасштабную самопохожую геометрию (в том числе гексагоны Сьерпинского) для эффективного резонанса в нескольких полосах частот из одного компактного устройства, поскольку каждый масштаб фрактала реагирует на разную длину волны. Здесь использованная тетраэдрическая версия является прямым 3D-аналогом того же принципа и полезна везде, где необходимо упаковать большую поверхность с широким диапазоном длин волн в небольшом объеме.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте The Sierpiński Tetrahedron і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.