Модель піску та самоорганізована критичність

Правило обвалування та виникнення лавин

Найбільш вивчений варіант – Абелієвий піщаний ґрунт, визначений на 2D сітці клітин, кожна з яких містить ціле число зернин. Зерна додаються по одне за раз до випадково обраної клітини. Коли клітина накопичує чотири або більше зернин, вона стає нестабільною і падає: вона втрачає чотири зерна та передає одне зерно кожному з своїх чотирьох ортогональних сусідів. Один падіж може скинути сусід над поріг, який потім також падає, і так ланцюгова реакція – лавина – поширюється назовні доки всі клітини не стануть стабільними знову. Зерна, що падають за межі, просто випадають; цей розпад на краях є необхідним, дозволяючи ґрунту відвести енергію, що вводиться кожним доданим зерном, а не безкінечно наповнюватися.

Якщо z(x, y) >= 4: z(x, y) -= 4 z(x±1, y) += 1 // кожному з 4 ортогональних сусідів додається одне зерно z(x, y±1) += 1 Зізнаємося, що остаточна стабільна конфігурація не залежить від порядку, в якому розвантажуються нестабільні клітини – властивість, яка дає змогу моделі назвати її Абелієвою, і пов’язує її з результатами в абстрактній алгебрі. Після багатьох додань ґрунт досягає статистичної стабільної позиції, де розмір наступної лавини фундаментально непередбачуваний.

if z(x, y) >= 4:
  z(x, y)   -= 4
  z(x±1, y) += 1   // each of the 4 orthogonal neighbours gains one grain
  z(x, y±1) += 1

Закон сили та критичність

Після того, як пісковину стабілізується в стаціонарному стані, статистика зсувів слідує за законом сили: P(s) ~ s−τ, де τ — критичний показник порядку від 1 до 1,5 у двох вимірах. Глибоке наслідком є відсутність характерного масштабу — немає типового розміру зсуву; невеликі події одного падіння поширені, а катастрофи, що охоплюють систему, рідкісні, але ніколи неможливі. Ця інваріантність за масштабом зазвичай є ознакою стану, який у фізиці рівноваги потребує ретельного налаштування параметра, такого як температура, до значення фазового переходу. Пер Бак, Чжао Танг і Курт Вайзенфельд показали в 1987 році, що пісковину автоматично досягають критичності — повільний процес додавання зерен, збалансований із швидким розслабленням та дифузією на межі, утримує систему в критичній точці як аттрактор. Не обертається жоден зовнішній гвинт; критичність є самоорганізованою.

Самоорганізована критичність у реальному світі

Самоорганізована критичність була запропонована в широкому спектрі дисциплін: землетруси дотримуються закону Гутенберга-Ріхтера, що є законом сили між величиною та частотою, який відображає цикл «забухування-зрушення» піску; лісові пожежі демонструють розподіли частоти проти площі горіння, які часто наближені до закону сили; нейронні зрухи в кортикованих мережах можуть слідувати розподілам розмірів за законом сили, що спонукає гіпотезу про те, що мозок працює поблизу критичної точки для максимізації обробки інформації; і фінансові ринки та транспорт обидва показують розподіли великих рухів і утворення заторів, вивчені через ту ж призму.

Общие заблуждения

Модель песочницы неточно описывает реальную кучу песка — настоящие зернистые материалы включают инерцию и трение и склонны производить большие квазипериодические осыпи, а не чистую статистику степеней свободы. Самоорганизующаяся критичность также не является одним универсальным законом, объясняющим все сложные системы; это один механизм среди многих, и соответствие степеням свободы — не доказательство критичности. И критичность не следует путать с хаосом: самоорганизующаяся критическая система представляет собой статистически стационарное состояние со масштабно-независимыми флуктуациями, а не детерминированный хаос в смысле логарифмической карты или системы Лорренца.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.