Шифрування RSA: Математика Великих Простих Чисел

Публичные ключи и ловушка факторизации

До RSA безопасная связь требовала предварительно согласованного секрета, который обменивался лично. Криптография с открытым ключом, опубликованная Ривестом, Шамиром и Адельманом в 1977 году, устраняет это: каждый публикует публичный ключ, которым любой может воспользоваться для шифрования сообщения, но только владелец соответствующего приватного ключа может его расшифровать. Шифрование одностороннее — легко применять, вычислительно невыполнимо обратить — благодаря ловушке факторизации целых чисел: умножение двух больших простых чисел происходит мгновенно, но разложение их произведения считается требующим экспоненциального времени в количестве цифр. Все арифметические операции выполняются по модулю n, «часы-арифметику», где важен только остаток, что создает конечную циклическую группу, в которой возведение в степень легко, но обратное (дискретный логарифм) считается сложным.

Квантування та проходження крізь стіни

Серце RSA – це теорема Ейлера: для будь-якого m, що ділиться на натуральне число з n, m^φ(n) ≡ 1 (mod n), де φ(n) – це довільна функція Ейлера — кількість цілих чисел до n, які діляться на натуральне число з n. Для n = p×q (двох різних простих чисел), φ(n) = (p−1)(q−1), і обчислення її вимагає знання простих множників – ключовий момент, який робить RSA безпечним. Генерація ключа: обрати два великих різних простих числа p, q (кожне приблизно 617 десяткових цифр для RSA з 2048 бітами); обчислити n = p×q і φ(n); вибрати публічний показник e, що є взаємно просте число з φ(n), зазвичай e = 65537; обчислити приватний показник d = e⁻¹ mod φ(n) за допомогою розширеного алгоритму Евкліда; опублікувати (n, e) і зберегти (n, d) конфіденційними, знищивши p, q та φ(n).

Шифрування та дешифрування: як це працює

Щоб зашифрувати повідомлення m < n за допомогою публічного ключа, обчислюється c = mᵉ mod n. Для розшифрування обчислюється m = cᵈ mod n — і оскільки ed ≡ 1 (mod φ(n)), теорема Ейлера гарантує, що m^(ed) ≡ m (mod n), тому оригінальне повідомлення повертається точно. Приклад: p=61, q=53, n=3233, φ(n)=3120, e=17, d=2753. Зашифрування m=65 дає c = 65¹⁷ mod 3233 = 2790, а розшифрування 2790²⁷⁵³ mod 3233 повертає 65.

n = p·q             φ(n) = (p−1)(q−1)         e·d ≡ 1 (mod φ(n))
Encrypt:  c = m^e mod n        Decrypt:  m = c^d mod n
2048-bit RSA GNFS factoring time: ~10^18 years on today's fastest hardware

Сучасна безпека та кванцева загроза

Найвідоміший класичний напад, Загальний метод ділення чисел (General Number Field Sieve), потребував би приблизно 10¹⁸ років для розрахунку факторування модуля 2048 біт на найшвидших комп’ютерах — RSA-2048 є сьогоднішнім стандартом сертифікатів TLS, з додатковим запасом у кілька десятиліть для RSA-4096. Кріптографія на основі еліптичних кривих досягає аналогічного рівня безпеки за допомогою значно коротших ключів (ECC-256 ≈ RSA-3072), тому TLS 1.3 віддає перевагу ECDHE для обміну ключами. Реальна довгострокова загроза — квантова: алгоритм Шора розкладає цілі числа за поліноміальним часом на достатньо потужному квантовому комп’етері, а оціночний час взлому RSA-2048 становить понад 4 000+ логічних кубітів проти сьогоднішніх приблизно 1 000 шумних фізичних кубітів. NIST стандартизував алгоритми постквантової криптографії на основі латентних структур — ML-KEM та ML-DSA — у 2024 році як страхування від майбутнього.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.