Root Locus: Спостереження за Рухом Кожного Замкненого Осі Положення в Один Ряд

Одна рівняння, відстежується як обертання ручки

Замкніть зворотний зв’язок навколо рослини G(s) з простим пропорційним підсиленням K і закриті полю замкнутої системи є коренями характеристичної рівняння, 1 + K·G(s)H(s) = 0. Зафіксуйте G та H, переміщуйте K безперервно від 0 до ∞, і корінь відстежує безперервний шлях у комплексному s-площі. Локус коренів є зображенням кожного з цих шляхів одночасно — картиною того, як саме рухаються всі полю замкнутої системи при обертанні одного важеля.

При K = 0 рівняння спрощується до G(s)H(s), що має полюс, тому кожен локус починається точно в полі відкритої петлі. Коли K → ∞ рівняння замість цього змушує G(s)H(s) наближатися до 0, тому гілки закінчуються в полі відкритої петлі нулів — або, якщо є більше полюсів ніж нулів, вони розбігаються в паралельні прямі лінії в межах простору. Кожна гілка закріплена на обох кінцях відомою рослиною; лише шлях між ними є новою інформацією.

Кутовий умову та чому правила малювання не є випадковими

Точка s₀ лежить на локусі точно тоді, коли вона задовольняє кутовій умові — сума кутів від кожного відкритого нульового пункту до s₀, мінус сума кутів від кожного відкритого полю до s₀, дорівнює 180° (mod 360°). Все, що ви вивчаєте як правило малювання для локусу коренів — сегменти на осі X, асимптоти, точки розриву — це просто скорочений висновок з цієї однієї умови, тому варто її пам’ятати:

осі X на локусі тоді і тільки тоді, коли до його правої сторони лежить непарна кількість полюсів + нулів асимптоти (2k+1)·180° / (#полюсів - #нулів), центровані на σ = (Σ полюсів - Σ нулів) / (#полюсів - #нулів) точка розриву де dK/ds = 0 вздовж сегменту осі X (два реальні полюси підходять, стикаються і відокремлюються від осі) уявно-комплексний перетин де локус перетинає jω — витягніть коефіцієнт, який розміщує систему точно на межі стабільності Як тільки s₀ підтверджено на локусі за допомогою кутової умови, точний коефіцієнт отримання, який розміщує закриту петлю там, випливає з умовної величини супутника: K = 1 / |G(s₀)H(s₀)|, обчислене як добуток відстаней від кожного полюса до s₀ поділеного на добуток відстаней від кожного нульового пункту до s₀. Кут знаходить де; величина говорить вам, скільки коефіцієнта розміщує полюс точно там.

real axis          on the locus iff an ODD number of real poles+zeros lie to its right
asymptotes         (2k+1)·180° / (#poles - #zeros), centred at
                    σ = (Σ poles - Σ zeros) / (#poles - #zeros)
breakaway point    where dK/ds = 0 along a real-axis segment
                    (two real poles approach, collide, and split off the axis)
imaginary crossing  where the locus crosses jω — read off the gain that
                    puts the system exactly on the stability boundary

Стабільність та характеристики читання

Стабільність є грубим читком: будь-який гілкування, що перетинає праву півплощину, означає наявність прибутку, що перевищує цю точку перетину, і це робить закритий ланцюг нестабільним — точка перетину вісі уяви є буквально максимальною величиною прибутку, яку можна використовувати. Але root locus дає вам те, чого не дає безпосередньо Bode analysis: точне розташування кожного замкненого полю для обраного K, що означає, що ви можете читати характеристики переходу напряму з графіку. Лінія постійної кута θ = cos⁻¹(ζ) відносно початку координат є locus сталої відносної демпфування ζ; коло радіусом ωn, центроване в початку координат, є locus сталої природної (негамованої) частоти. Перекладіть ці дві сім'ї кривих на root locus і вибір коефіцієнта стає вибором точки перетину, яка дає вам необхідний відскок та час затухання.

settling time  ts ≈ 4 / (ζ·ωn)     — set by how far LEFT the pole sits (real part)
overshoot      Mp  = e^(-ζπ/√(1-ζ²))  — set by the ANGLE of the pole from the real axis
speed of response                    — set by how far the pole sits from the origin

За межами простого коефіцієнта підсилення: додавання полюсів і нулів для перетворення карти

Теорія положення коливань не обмежується лише налаштуванням одного пропорційного коефіцієнта підсилення — вона така ж корисна для визначення того, де розмістити полюса та нулі компенсувальника, перш ніж налаштувати його коефіцієнт. Додайте нуль (як це роблять PD або лідерні компенсоатори) і гілки згинаються вліво, до більш негативних дійсних частин, оскільки кутовий умову тепер потрібно менше внеску від полюсів для досягнення 180° — це механізм, за яким лідерні компенсоатори роблять класичну обіцянку швидшого встановлення та коротшого перехідного процесу. Додайте полюс на початку (PI або лаговий компенсоатор, для нульової постійної помилки) і гілки схиляються вправо до уявної осі, жертвуючи деякою маржею стабільності за рахунок покращеної інтегральної точності. Інтегральна дія купує вам — що є причиною того, що лаговий компенсоатор розміщується дуже близько до початку, щоб відчути основний вплив його правого тяга на положення коливань лише при низькому коефіцієнті.

Це справжня цінність інструменту: вона перетворює питання «Чи буде цей дизайн компенсувача працювати?» з алгебраїчної задачі в геометричну задачу, яку можна намалювати від руки та підтвердити на око, перш ніж взагалі торкатися MATLAB або запускати будь-яке моделювання.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Root Locus і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.