Рівні суми: від прямокутників до правила Сімпсона

Обчислення площі під кривою за допомогою сум прямокутників

Визначення розбіжних інтегралів як межі сум прямокутників — це поняття, відоме як сума Рімана. Обчислення інтеграла поля визначається як межа суми площ n прямокутників, що утворюються при розділенні інтервалу [a, b] на n рівних частин.

∫ f(x) dx ≈ Σ f(xi) · Δx для i = 0 .. n-1 ліве правило: xi = a + i·Δx (вибір точки злішого краю) праве правило: xi = a + (i+1)·Δx (вибір точки правішого краю) половинне правило: xi = a + (i+0.5)·Δx (вибір точки середини смуги) Сума Рімана є наближенням площі під кривою, яке стає точнішим при збільшенні кількості прямокутників.

Ріман формалізував цю конструкцію у 1854 році, щоб зробити точним, які функції можна інтегрувати — розбіжний інтеграл існує, коли сума збігається до однієї й тієї ж величини незалежно від того, як ви обираєте точку зразка в кожному смузі, коли смуги стають достатньо тонкими. Це питання існування виявилося складним (деякі обмежені функції не є розбіжними інтегралами), що й пояснює пізнішу побудову Лебегом більш загальної теорії, але для будь-якої безперервної функції на закритому інтервалі — майже кожна функція, яку ви зможете симулювати — сума Рімана збігається чисто та є тим, що комп'ютер приблизно оцінює, коли не може символічно обчислити інтеграл.

∫ f(x) dx  ≈  Σ f(xi) · Δx      for i = 0 .. n-1

left rule:     xi = a + i·Δx                (sample at left edge)
right rule:    xi = a + (i+1)·Δx            (sample at right edge)
midpoint rule: xi = a + (i+0.5)·Δx          (sample at strip centre)

Left, right, and why both are biased

On a function that is monotonically increasing and convex, the left rule systematically underestimates the true area (every rectangle sits below the curve on the left) while the right rule systematically overestimates it. The two errors have the same sign as the function's slope, and averaging the left and right sums exactly cancels the first-order error term — which is precisely the trapezoid rule, geometrically equivalent to replacing each rectangle with a trapezoid that connects f(xi) to f(xi+1) with a straight line instead of a flat top.

trapezoid:  ∫ f dx ≈ Δx · [ f(x0)/2 + f(x1) + f(x2) + ... + f(xn-1) + f(xn)/2 ]

Midpoint: same order, half the constant

The midpoint rule also cancels the first-order error, for a different reason: sampling at the centre of each strip means the curve's slope overshoots on one half of the strip and undershoots by almost exactly the same amount on the other half. Both trapezoid and midpoint have error that shrinks as O(Δx²) — twice as many strips means four times less error — compared to O(Δx) for the naive left or right rule. Interestingly, the midpoint rule's error constant is about half the size of the trapezoid rule's and has the opposite sign, which is the reason combining them cleverly does even better.

Simpson's rule: fitting a parabola instead of a line

Simpson’s rule takes that combination explicitly: weight the midpoint rule twice as heavily as the trapezoid rule (2·midpoint + trapezoid, divided by 3), which is algebraically identical to fitting a parabola through each pair of adjacent strips rather than a straight line. The result converges as O(Δx⁴) — quadrupling the strip count shrinks the error by a factor of 256 — and it integrates any cubic polynomial exactly with no error at all, a striking amount of accuracy for such a cheap formula.

Simpson's rule (n even):
∫ f dx ≈ (Δx/3) · [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 4f(xn-1) + f(xn) ]
                     coefficients alternate 4, 2, 4, 2, ..., 4, with endpoints weight 1

Выбор правила в практике

Для гладкой функции правило Симпсона достигает заданной точности с гораздо меньшим количеством оценок, чем метод середины или трапециевого правила, что имеет значение, когда каждая оценка является дорогостоящей (физический решатель, оценка методом Монте-Карло, измерение). Для функции с изгибом или разрывом внутри интервала преимущества более высоких порядков теряются — ни один из этих методов не знает об изгибе, и разделение интервала на разрыв перед интегрированием каждого куска является стандартным решением. Для действительно грубых или многомерных интегралов ни одно фиксированное правило сетки здесь не конкурентоспособно с методом Монте-Карло, чья ошибка уменьшается как O(1/√N), независимо от размерности — медленнее по одному пункту в 1D, но единственный практичный вариант, когда количество измерений поднимается в десятки раз.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Riemann Integral і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.