Стабільність стін із кам’яного блоку: тиск Ранкіна і коефіцієнт безпеки

Упорний мур підтримує не лише землю

Функція опорного муру полягає у тому, щоб утримати схил ґрунту, який інакше змияв би на більш мілінг рівень. Ґрунт за муром не є пасивним, мертвим вантажем, що лежить на полиці – це маса під власним внутрішнім тиском, і коли стіна надає йому можливості рухатися, цей тиск виштовхується проти стіни як справжня, стабільна горизонтальна сила. Правильне визначення геометрії та ваги муру означає спочатку розрахунок сили, яку це спричиняє, а потім перевірка трьох різних способів, якими стіна може руйнуватися під дією цього тиску.

Стабільність земляного тиску

У 1857 році Вільям Ранкін показав, що коли стіна вільно рухається або трохи відхиляється від ґрунту, вона утримує ґрунтову масу, яка внутрішньо тече та розслабляє до мінімального стабільного тиску, який називається активним станом. Горизонтальний тиск, що створюється на заданій глибині z, пропорційний вертикальному тиску навантаження на цій глибині, масштабованому за коефіцієнтом активного земляного тиску Ka = tan²(45° − φ/2), де φ є кутом внутрішнього тертя ґрунту — показником того, наскільки сильно ґрунт протистоїть самому собі тертю. Більш в'язкий, слабший ґрунт (нижче φ) має більший Ka і тисне сильніше; щільний, добре ущільнений ґрунт (вище φ) має менший Ka і тисне менше. Оскільки вертикальне напруження в ґрунті зростає лінійно з глибиною, так само зростає горизонтальний активний тиск, створюючи трикутсний розподіл тиску по висоті стіни: нуль у верхній частині, максимум на основі.

Результантна сила та її векторне положення

Трикутста розповсюдження легко підсумувати: інтегрування тиску по всій висоті стіни H дає єдину результантну горизонтальну силу Pₐ = ½·Ka·γ·H², де γ - одинична вага ґрунту. Ця результантна сила не діє в середині висоти — як будь-який трикутник, її центрмаса знаходиться на третині шляху від широкого кінця, тому Pₐ діє на відстані H/3 над основою. Цей векторний момент має таку ж важливість, як і сама сила, оскільки він перетворює горизонтальний тиск на обертаючий, звалюючи ефект на стіну.

Ka  = tan²(45° − φ/2)
σₐ(z) = Ka · γ · z            // pressure at depth z
Pₐ  = ½ · Ka · γ · H²          // resultant thrust, acting at H/3 above base

FS(overturning) = M_resisting / M_overturning   // target ≥ 2.0
FS(sliding)      = F_resisting / Pₐ              // target ≥ 1.5

Illustrative example: φ = 30°, γ = 18 kN/m³, H = 4 m
  Ka  = tan²(45° − 15°) = tan²(30°) ≈ 0.333
  Pₐ  = 0.5 × 0.333 × 18 × 4² ≈ 48 kN per metre of wall, acting at 4/3 ≈ 1.33 m above base
  If wall + soil self-weight gives a resisting moment of ≈ 130 kN·m about the toe
  and Pₐ's overturning moment is 48 × 1.33 ≈ 64 kN·m,
  FS(overturning) ≈ 130 / 64 ≈ 2.0  — right at the design target

Перевірка на злам та ковзання

Два механізми невдачі безпосередньо випливають із результантного тиску. Злам запитує, чи б стіна обернулася вперед навколо її основи — точки опори, якщо б стіна перевернулася. Власна вага стіни та вага будь-якої ґрунтів, що лежать на підставі, створюють момент опору навколо цієї основи; активний тиск, який діє на відстані H/3 від основи, створює момент обертання навколо тієї ж точки. Коефіцієнт безпеки проти злому просто дорівнює моменту опору поділеному на момент обертання, і стандартна практика передбачає FS ≥ 2. Ковзання ставить інше питання: чи б вся стіна перемістилася вперед по її основі? Опір тут в основному залежить від тертя між основою та ґрунтом під нею — сила тертя дорівнює коефіцієнту тертя, помноженому на вертикальне навантаження, що діє на основу, плюс, часто консервативно ігнорується, певний пасивний опір від ґрунту, який стоїть проти передньої частини стіни. Коефіцієнт безпеки проти ковзання дорівнює силі тертя, поділеній на горизонтальний тиск, з стандартною метою FS ≥ 1.5.

Ось Eccentricity та середня третина правила

Стіна може проходити як перекидання, так і тертя та все ще бути погано пропорційною. Підсумовування моментів навколо центральної осі основи визначає точно, де припадає вертикальне зусилля – її відхилення e від центру. Оскільки ґрунт може лише тиснути, а не тягнути, поперечний тиск під фундаментом повинен залишатися стисненням всюди; це гарантовано тільки якщо сила припадіння знаходиться в третині основи, тобто e ≤ B/6 для ширини основи B. Якщо силу припадіння відсунути за межі цього ліміту, частина основи фактично піднімається над ґрунтом, концентруючи повне навантаження на зменшену площу біля основи — пікове тиск, яке може розчавити або нерівномірно осідати ґрунт, поступово нахиляючи стіну навіть якщо вона ніколи не перекидається чи не ковзає.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.