Квантовий Гармонічний Осцилятор: Рівні Енергії та Хвильові Функції

Енергетичні власні значення та енергія спокою

Розв’язування рівняння Шредінгера для параболічного потенціалу V(x) = ½mω²x² вимагає, щоб хвильова функція зникала в нескінченності, що змушує енергію набувати лише дискретних значень:

Eₙ = ħω(n + ½), n = 0, 1, 2, 3, … E₀ = ½ħω ← енергія спокою, не нульова навіть при T = 0 ΔE = ħω ← рівні інтервали між кожним сусіднім рівнем На відміну від класичної пружини, яка може перебувати в стані спокою з енергією рівною нулю, квантовий осцилятор не може: Принцип невизначеності Гейзенберга Δx·Δp ≥ ħ/2 забороняє одночасне визначення положення та імпульсу, тому обмеження частинки змушує до розподілу імпульсу та, відповідно, до енергії спокою. Ця енергія спокою вимірювана напряму — вона є причиною ефекту Казімера та підтримує рідке гелій при атмосферному тиску навіть за абсолютної температури.

Eₙ = ħω(n + ½),   n = 0, 1, 2, 3, …
E₀ = ½ħω           ← zero-point energy, non-zero even at T = 0
ΔE = ħω             ← equal spacing between every adjacent level

Гармонічний осцилятор: оператори підвищення та зниження квантового числа

Повні хвильові функції ψₙ(x) = Nₙ·Hₙ(ξ)·e^(−ξ²/2) поєднують у собі Гаусову оболонку з Hermite полиномами Hₙ(ξ), кожен з яких має рівно n вузлів і має парну/непарну чергування парності. Елегантний алгебраїчний шорткаут дозволяє уникнути диференціальних рівнянь: оператори підвищення та зниження квантового числа a⁺ та a⁻ задовольняють [a⁻,a⁺] = 1 і на одиницю збільшують або зменшують квантове число, факторизуючи гамільтоніан як H = ħω(a⁺a⁻ + ½) — точно так само, як використовуються оператори створення та знищення для фотонів у квантовій електродинаміці.

Зухвале квантове явище: щільність ймовірності не дорівковується нулю за межами класичних точок повороту x = ±xₙ, де класичний частинка мала б від’ємну кінетичну енергію та миттєво змінювала б напрямок. Для основного стану приблизно 15,7% ймовірності знаходиться в цьому класично забороненому регіоні. При великому n бере ефект кореляції принципу Борна: швидко змінна квантова щільність усереднюється, щоб відповідати класичній розподілу ймовірностей, який досягає піку на точках повороту, де класичний осцилятор рухається найповільніше.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.