Квантовий Гармонічний Осцилятор: Енергетичні Рівні та Хвильові Функції

Квантовый гармонический осциллятор

Квантовый гармонический осциллятор (КГО) — это частица в потенциале V(x) = ½mω²x² — является квантовомеханической версией массы на пружине, и является одним из небольшого количества квантовых систем, которые могут быть решены точно в закрытой форме. Это имеет значение далеко за пределами пружин, потому что любой гладкий потенциал выглядит примерно как парабола вблизи локального минимума (первый нетривиальный член разложения Тейлора), поэтому КГО является стандартным первым приближением для колебаний молекулярных связей, фононов в кристаллической решетке и квантованных мод электромагнитного поля.

Ĥψ = Eψ,     Ĥ = −(ℏ²/2m) d²/dx² + ½mω²x²

Eₙ = ℏω(n + ½),     n = 0, 1, 2, 3, …

Чому рівні енергії розташовані рівномірно – і ніколи не дорівнюють нулю

Розв’язування рівняння Шредінгера для цього потенціалу дає нескінченну сходинку рівнів енергії, що розташовані на відстань точно ℏω, однакова проміжна між кожною послідовною парою – на відміну від, скажімо, водневого атома, рівні якого щільніше укладаються зі збільшенням n. Найнижчий рівень, E₀ = ½ℏω, не дорівнює нулю. Ця нульова енергія є прямим наслідком принципу невизначеності Гейзенберга: стан з точною нульовою енергією потребував би точно нуля імпульсу та точно нуля положення одночасно, що забороняється відношенням невизначеності Δx·Δp ≥ ℏ/2. Осцилятор ніколи не може повністю стати нерухомим, навіть за абсолютною температури – справді квантовий ефект без класичного аналога, пізніше виміряний безпосередньо у нульових коливаннях затриманих іонів та в ефекті Казиріча.

Функции волн и Эрмитовых полиномов

Кожна функція хвилі рівня енергії має однакову універсальну форму: змінна, що обгорнута Гауссом, помножена на поліном, який додає n коливань у класично дозволеній області:

ψₙ(x) = Nₙ · Hₙ(√(mω/ℏ) x) · exp(−mωx² / 2ℏ) Hₙ = n-тий фізичний Ермітів поліном, згенерований рекурентною формулою: H₀ = 1, H₁ = 2y, Hₙ₊₁(y) = 2y·Hₙ(y) − 2n·Hₙ₋₁(y) Рекурсія робить функції хвилі дешевими для обчислення чисельно — замість того, щоб незалежно оцінювати закриту формулу полінома для кожного n, ви будуєте H₀ і H₁ один раз і генеруєте будь-які наступні Hₙ з двох попередніх за допомогою одного множення та додавання, що є підходом, який реалізована в реальному часі симуляції для накладання кількох рівнів енергії одночасно без перерахунку всього з нуля кожного кадру.

ψₙ(x) = Nₙ · Hₙ(√(mω/ℏ) x) · exp(−mωx² / 2ℏ)

Hₙ = the n-th physicists' Hermite polynomial, generated by the recurrence:
H₀ = 1,  H₁ = 2y,  Hₙ₊₁(y) = 2y·Hₙ(y) − 2n·Hₙ₋₁(y)

Що вам говорить ймовірнісна густина про класичний преділ

Основний стан |ψ₀|² є одною плавною Гауссовою пазухою, що центрується в x = 0 — частинка найімовірніше знаходиться саме там, де б знаходилася класична частинка, яка спочиває, що виглядає переконливо знайомо. Але подивіться на стан високого порядку |ψₙ|², і класичне інтуїтивне уявлення перевертається: |ψₙ|² розвивається n піків і n−1 вузлів (точки точно нульової ймовірності) в добре, і його обгортка стає найбільшою біля класичних поворотних точок на краях руху та найменшою посередині — точно назад від класичного осцилятора, який найдовше залишається там, де він рухається найповільніше, у поворотній точці, і ця квантова обгортка обертання збігається з класичним середнім часом розподілом положення, коли n → ∞, що є явним проявом принципу кореспонденції Борна: квантові прогнози повинні відтворювати класичні в межах великих квантових чисел.

Ступінчасті оператори: алгебраїчний скорот

Замість того, щоб розв'язувати диференціальне рівняння безпосередньо, стандартне сучасне виведення визначає оператори підвищення та зниження (створення та анігілювання), позначені $dagger$ і $ullet$, з позиції та імпульсу, які переміщують стан на рівень енергії вгору або вниз точно один щабець: $dagger |n angle = sqrt{n+1} |n+1 angle$ і $ullet |n angle = sqrt{n} |n-1 angle$. Цей алгебраїчний метод практично повністю обходить використання Hermite многочленів і безпосередньо узагальнюється до квантової теорії поля, де такий самий структурний елемент зі ступінчастими операторами описує створення та знищення окремих фотонів або фононів — QHO в цьому сенсі є насіння для всієї рамки другої квантизації.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Quantum Harmonic Oscillator і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.