Квантові алгоритми

🔬 Основи: оператори та модулі

Квантове перетворення Фур'є (QFT)

QFT — серце алгоритму Шора та фазової оцінки. Дає експоненційний виграш у перетворенні дискретних сигналів у фазову область станів.

Фазова оцінка (PEA)

Дозволяє оцінювати власні фази U|ψ⟩ = e^{2πiφ}|ψ⟩. Критична для спектральних задач, квантової хімії та симуляцій.

Оцінка амплітуди (QAE)

Квантовий аналог Монте-Карло з квадратичним прискоренням: похибка ε досягається за O(1/ε) викликів замість O(1/ε²).

Варіаційні схеми

Параметризовані квантові кола оптимізуються класичним оптимізатором: VQE для енергій, QAOA для комбінаторики.

|k⟩ → (1/√N) Σ j=0..N−1 e^{2πi·jk/N} |j⟩

🏗️ Класичні алгоритми

Алгоритм Ґровера (Grover)

Дає квадратичне прискорення пошуку по невпорядкованій базі: O(√N) запитів замість O(N). Ключ — оператор дифузії та інверсія відносно середнього.

Алгоритм Шора (Shor)

Експоненційно пришвидшує факторизацію та дискретний логарифм через редукцію до періодознаходження і QFT. Має наслідки для криптографії RSA/DSA.

QFT та періодознаходження

Виявляє період функції f(x)=a^x mod N через інтерференцію у фазовому просторі. Базовий шаблон для широкого класу абелевих задач.

G = (2|s⟩⟨s| − I)·O, де |s⟩ = (1/√N) Σ |x⟩

🧪 Варіаційні алгоритми (NISQ)

VQE — Variational Quantum Eigensolver

Мінімізує очікуване значення ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩. Використовується у квантовій хімії (енергії молекул) та матеріалознавстві.

QAOA — Quantum Approximate Optimization Algorithm

Розв'язує задачі на графах і оптимізації (Max-Cut, Max-3SAT) через чергування еволюції за гамільтоніанами задачі та мікшера.

Ansatz та експресивність

Апаратура-орієнтовані схеми (HEA), UCCSD для хімії, проблему «згасаючих градієнтів» долають локальні костюми та ініціалізації.

E(θ) = ⟨0|U†(θ)HU(θ)|0⟩ → min

🧰 Практичний гайд: приклади

1) Проста схема Гровера (псевдокод)

2) Шор: контур

Обрати випадкове a, 1 Оцінити період r для f(x)=a^x mod N через PEA/QFT Якщо r парний і a^{r/2} ≠ −1 (mod N), отримати дільники через gcd(a^{r/2}±1, N)

Оцінити період r для f(x)=a^x mod N через PEA/QFT

Якщо r парний і a^{r/2} ≠ −1 (mod N), отримати дільники через gcd(a^{r/2}±1, N)

3) VQE: контур

Вибір ansatz U(θ), підготовка стану

Оцінка E(θ) на апаратурі

Класичний оптимізатор оновлює θ до збіжності

init |0⟩^n → H^⊗n → |s⟩; пошукова мітка O; повторити ⌊π/4√N⌋ раз: застосувати O, потім дифузію 2|s⟩⟨s|−I

📈 Застосування

Криптоаналіз

Шор порушує RSA/DSA/ECC при масштабних квантових ресурсах.

Пошук і оптимізація

Гровер, QAOA, амплітудні методи — прискорення пошуку, комбінаторики.

Хімія і матеріали

VQE/PEA для енергетичних спектрів, реакційних профілів, властивостей матеріалів.

Фінанси

QAE та амплітудні методи для ціноутворення та ризику з кращою складністю.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте SPH Fluid і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.